1.8.15 Uma distribuição de correntes elétricas cria um momento magnético constante \mathbf{m}= const. A força sobre \mathbf{m} em uma indução magnética externa \mathbf{B} é dada por
\mathbf{F}=\boldsymbol{\nabla} \times(\mathbf{B} \times \mathbf{m})
Mostre que
\mathbf{F}=(\mathbf{m} \cdot \nabla) \mathbf{B}
Nota: Admitindo nenhuma dependência temporal dos campos, as equações de Maxwell resultam \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}=0. Também \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{B}=0.

Passo 1

O enunciado dá a força
\mathbf{F} = \nabla \times (\mathbf{B} \times \mathbf{m})
onde \mathbf{m} é constante e, das equações de Maxwell em regime estático, vale \nabla \cdot \mathbf{B}=0 e \nabla \times \mathbf{B}=0. Queremos mostrar que
\mathbf{F} = (\mathbf{m}\cdot\nabla)\mathbf{B}.

Passo 2

Aplicamos a identidade vetorial para o rotacional de um produto vetorial:
\nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{C}) = \mathbf{A}\,(\nabla\cdot \mathbf{C}) - \mathbf{C}\,(\nabla\cdot \mathbf{A}) + (\mathbf{C}\cdot\nabla)\mathbf{A} - (\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{C}.

Passo 3

Escolhendo \mathbf{A}=\mathbf{B} e \mathbf{C}=\mathbf{m}, a fórmula vira
\nabla \times (\mathbf{B} \times \mathbf{m}) = \mathbf{B}\,(\nabla\cdot \mathbf{m}) - \mathbf{m}\,(\nabla\cdot \mathbf{B}) + (\mathbf{m}\cdot\nabla)\mathbf{B} - (\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{m}.
Como \mathbf{m} é constante, \nabla\cdot \mathbf{m}=0 e (\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{m}=\mathbf{0}. E por Maxwell estático \nabla\cdot \mathbf{B}=0. Logo restam apenas
\nabla \times (\mathbf{B} \times \mathbf{m}) = (\mathbf{m}\cdot\nabla)\mathbf{B}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{F} = (\mathbf{m}\cdot\nabla)\mathbf{B}.

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