1.7.5 Prove que \boldsymbol{\nabla} \cdot(\mathbf{a} \times \mathbf{b})=\mathbf{b} \cdot(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{a})-\mathbf{a} \cdot(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{b}).
Sugestão: Trate como um produto escalar triplo.

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade de cálculo vetorial
\boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) =\mathbf{b}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{a}) -\mathbf{a}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{b}).
O conteúdo usado é a definição do produto escalar triplo de três vetores
(\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w})=\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})
e suas propriedades de permutação cíclica e antissimetria.

Passo 2

Reescrevemos o lado esquerdo como produto escalar triplo, tomando \boldsymbol{\nabla} como vetor operador:
\boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) =(\boldsymbol{\nabla},\mathbf{a},\mathbf{b}).

Passo 3

Usando a invariância sob permutação cíclica do produto triplo, temos
(\boldsymbol{\nabla},\mathbf{a},\mathbf{b}) =(\mathbf{b},\boldsymbol{\nabla},\mathbf{a}) =\mathbf{b}\cdot\bigl(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{a}\bigr).

Passo 4

Usando que trocar dois argumentos inverte o sinal, também podemos escrever
(\boldsymbol{\nabla},\mathbf{a},\mathbf{b}) =-\,(\mathbf{a},\boldsymbol{\nabla},\mathbf{b}) =-\,\mathbf{a}\cdot\bigl(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{b}\bigr).
Igualando as duas expressões para (\boldsymbol{\nabla},\mathbf{a},\mathbf{b}) obtemos
\boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) =\mathbf{b}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{a}) -\mathbf{a}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{b}).

Resposta

A identidade está demonstrada:
\boxed{ \boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) =\mathbf{b}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{a}) -\mathbf{a}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{b}) }.

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