1.7.6 O campo eletrostático de uma carga pontual q é
\mathbf{E}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}} .
Calcule a divergência de E. O que acontece na origem?

Passo 1

O enunciado dá o campo eletrostático de uma carga pontual
\mathbf{E}(\mathbf r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{\hat{\mathbf r}}{r^{2}}
e pede para calcular \nabla\cdot\mathbf{E}.
Conteúdo: usamos a fórmula da divergência em coordenadas esféricas para um campo radial e, em seguida, tratamos a singularidade na origem via Teorema da Divergência (Gauss).

Passo 2

Para um campo radial genérico \mathbf A(\mathbf r)=A_{r}(r)\,\hat{\mathbf r}, a divergência em coordenadas esféricas é
\nabla\cdot\mathbf A =\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^{2}A_{r}(r)\bigr).
No nosso caso A_{r}(r)=\displaystyle\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}.

Passo 3

Calculemos para r>0:
r^{2}A_{r}(r) =r^{2}\cdot\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}} =\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^{2}A_{r}\bigr)=0.
Logo, para r\neq0 temos
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{1}{r^{2}}\cdot 0 = 0.

Passo 4

Na origem r=0 o campo diverge como 1/r^{2} e a fórmula acima não vale diretamente. Para capturar a contribuição localizada em r=0, aplicamos o Teorema da Divergência em uma esfera de raio R:
\int_{V}(\nabla\cdot\mathbf{E})\,dV =\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} =\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\,(4\pi) =\frac{q}{\varepsilon_{0}}.

Passo 5

Como a divergência é zero fora da origem e sua integral em torno da origem vale q/\varepsilon_{0}, concluímos que, em sentido de distribuições,
\nabla\cdot\mathbf{E} =\frac{q}{\varepsilon_{0}}\,\delta(\mathbf r),
onde \delta(\mathbf r) é a delta de Dirac tridimensional.

Resposta

\displaystyle\nabla\cdot\mathbf{E}=0 para r\neq0; na origem ocorre uma singularidade tal que
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{q}{\varepsilon_{0}}\,\delta(\mathbf r).

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