1.7.6 O campo eletrostático de uma carga pontual
é
Calcule a divergência de E. O que acontece na origem?
Passo 1
O enunciado dá o campo eletrostático de uma carga pontual
e pede para calcular
.
Conteúdo: usamos a fórmula da divergência em coordenadas esféricas para um campo radial e, em seguida, tratamos a singularidade na origem via Teorema da Divergência (Gauss).
Conteúdo: usamos a fórmula da divergência em coordenadas esféricas para um campo radial e, em seguida, tratamos a singularidade na origem via Teorema da Divergência (Gauss).
Passo 2
Para um campo radial genérico
, a divergência em coordenadas esféricas é
No nosso caso
.
Passo 3
Calculemos para
:
Logo, para
temos
Passo 4
Na origem
o campo diverge como
e a fórmula acima não vale diretamente. Para capturar a contribuição localizada em
, aplicamos o Teorema da Divergência em uma esfera de raio
:
Passo 5
Como a divergência é zero fora da origem e sua integral em torno da origem vale
, concluímos que, em sentido de distribuições,
onde
é a delta de Dirac tridimensional.