3.15 Encontre o raio que é a reflexão do raio r(t)=(t,-t, 2) na superfície z=x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a equação do raio refletido do raio de incidência r(t)=(t,-t,2) ao atingir a superfície paraboloide z=x^2+y^2. O conteúdo aqui é a reflexão em superfícies suaves, e vamos precisar usar o ponto de intersecção, o vetor normal à superfície e a fórmula de reflexão de um vetor em relação a um normal.

Passo 2

Para encontrar o ponto de intersecção, substituímos x=t, y=-t e z=2 na equação da superfície z=x^2+y^2. Assim, temos
2 = t^2 + (-t)^2 = 2t^2
Logo, t^2=1. Como o raio é parametrizado para t>=0, escolhemos t=1. O ponto de intersecção é
P = r(1) = (1,-1,2)

Passo 3

O vetor normal à superfície z=x^2+y^2 é dado pelo gradiente de F(x,y,z)=x^2+y^2-z, ou seja,
nabla F=(2x,2y,-1)
No ponto P=(1,-1,2), isso vale
n = (2,-2,-1)

Passo 4

O vetor de incidência é a direção do raio original, isto é v = r'(t) = (1,-1,0). Para refletir v em relação ao normal n, usamos a fórmula
vrm ref = v - 2vcdot nncdot n,n
Calculamos
vcdot n = (1,-1,0)cdot(2,-2,-1)=4, ncdot n=2^2+(-2)^2+(-1)^2=9
Portanto
vrm ref = (1,-1,0) - 249(2,-2,-1) = l(1,-1,0r) - l(tfrac169,-tfrac169,-tfrac89r) = l(-tfrac79,tfrac79,tfrac89r)

Passo 5

Com o ponto de intersecção P=(1,-1,2) e a direção refletida vrm ref=(-tfrac79,tfrac79,tfrac89), a equação paramétrica do raio refletido é
ell(s)= (1,-1,2) + sl(-tfrac79,tfrac79,tfrac89r), s>=0

Resposta

O raio refletido é ell(s) = (1,-1,2) + sl(-tfrac79,tfrac79,tfrac89r), s>=0.

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