Sejam
e
de classe
. Provar que
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a fórmula do divergente de um produto de um escalar por um campo vetorial em
. O conteúdo aqui é cálculo vetorial (operador
, divergente e produto escalar) e vamos precisar da definição de divergente e da regra do produto para derivadas parciais.
Passo 2
Começamos escrevendo o divergente do campo
pela sua definição em coordenadas. Se
, então
Passo 3
Agora aplicamos a regra do produto para derivadas parciais em cada termo. Por exemplo,
Passo 4
Agora agrupamos os termos com
e os termos com as derivadas de
. Fica
Passo 5
Reconhecemos que
Resposta
A igualdade
está demonstrada.