Sejam f: R^3 R e F: R^3 R^3 de classe C^2. Provar que
nabla cdot(f F)=f nabla cdot F+nabla f cdot F.

Passo 1

O enunciado pede para provar a fórmula do divergente de um produto de um escalar por um campo vetorial em R^3. O conteúdo aqui é cálculo vetorial (operador nabla, divergente e produto escalar) e vamos precisar da definição de divergente e da regra do produto para derivadas parciais.

Passo 2

Começamos escrevendo o divergente do campo f,vec F pela sua definição em coordenadas. Se vec F=(F1,F2,F3), então
nablacdot(f,vec F)=partialpartial x(f F1)+partialpartial y(f F2)+partialpartial z(f F3)

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto para derivadas parciais em cada termo. Por exemplo,
partialpartial x(f F1)=F1,partial fpartial x+f,partial F1partial x, e analogamente para as outras componentes. Assim
nablacdot(f,vec F)=l(F1,fx+f,F1xr)+l(F2,fy+f,F2yr)+l(F3,fz+f,F3zr), onde usamos as notações fx=partial f/partial x e F1x=partial F1/partial x, etc.

Passo 4

Agora agrupamos os termos com f e os termos com as derivadas de f. Fica
nablacdot(f,vec F)=f,(F1x+F2y+F3z)+(F1 fx+F2 fy+F3 fz)

Passo 5

Reconhecemos que
F1x+F2y+F3z=nablacdotvec Fe F1 fx+F2 fy+F3 fz=nabla fcdotvec F Portanto chegamos exatamente à identidade desejada:
nablacdot(f,vec F)=f,nablacdotvec F+nabla fcdotvec F

Resposta

A igualdade nablacdot(f,vec F)=f,nablacdotvec F+nabla fcdotvec F está demonstrada.

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