Então, sendo f(x)=x^2+1, temos que
sumi=1^n f(3(i-1)n) cdot 3n & =sumi=1^n[(3(i-1)n)^2+1] cdot 3n=sumi=1^n(9(i-1)^2n^2+1) cdot 3n & =sumi=1^n(27(i-1)^2n^3+3n)=27n^3 cdot sumi=1^n(i-1)^2+sumi=1^n 3n & =27n^3 cdot(sumi=1^n i^2-2 cdot sumi=1^n i+sumi=1^n 1)+3n cdot sumi=1^n 1
Substituindo sumi=0^n 1=n, sumi=0^n i=n(n+1)2 e sumi=0^n i^2=n(n+1)(2 n+1)6, segue que a igualdade acima fica
sumi=1^n f(3(i-1)n) cdot 3n & =27n^3(n(n+1)(2 n+1)6-2 n(n+1)2+n)+3n cdot n & =9+272 n+276 n^2-27n+3
Logo, o limite dessas somas, quando n +infty, é dado por
lim n +infty sumi=1^n f(3(i-1)n) cdot 3n & =lim n +infty(9+272 n+276 n^2-27n+3) & =lim n +infty 9+lim n +infty 272 n+lim n +infty 276 n^2-lim n +infty 27n+lim n +infty 3 & =9+3 & =12
isto é, a área sob a curva f no intervalo [0,3] é 12 u.a.
4.4 Calcule as seguintes integrais:
integralpi4^3 pi4 cossec theta cotg theta d theta
Solução: Note que (cossec theta)^prime=-cossec theta cotg theta. Logo,
integralpi4^3 pi4 cossec theta cotg theta d theta=[-cossec theta]pi / 4^3 pi / 4=-cossec(3 pi4)+cossec(pi4)=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integralpi/4^3pi/4 csctheta,cottheta,dtheta
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas e vamos usar a relação entre derivada e antiderivada da função csctheta.

Passo 2

A gente lembra da seguinte fórmula de derivada:
ddthetal(cscthetar) = -csctheta,cottheta
Isso implica que
csctheta,cottheta = -ddthetal(cscthetar)

Passo 3

Logo, a integral fica
integral csctheta,cottheta,dtheta = -integral ddthetal(cscthetar),dtheta = -csctheta + C
Então nosso antiderivado é -csctheta.

Passo 4

Agora é só avaliar nos limites:
integralpi/4^3pi/4 csctheta,cottheta,dtheta = l[-cscthetar]pi/4^3pi/4 = -cscl(3pi/4r) + cscl(pi/4r)
Como sin(3pi/4)=sin(pi/4)=tfracraiz22, temos
cscl(3pi/4r)=cscl(pi/4r)=raiz2
Portanto o valor numérico é
-raiz2 + raiz2 = 0

Resposta

0

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