3.16 Você está em uma viagem aérea sobre Belém em uma posição (2,3) e quer evitar uma tempestade em uma região de baixa pressão. A pressão é dada pela função p(x, y)=3 x^2+2 y^2. Em que direção você deve voar de modo que a variação da pressão seja máxima?

Passo 1

O enunciado pede para determinar a direção em que devemos voar a partir do ponto (2,3) de forma que a variação da pressão p(x,y)=3x^2+2y^2 seja máxima. Isso envolve cálculo de gradiente de uma função de duas variáveis.

Passo 2

Para encontrar a direção de maior variação de uma função escalar p(x,y), usamos o conceito de gradiente. O gradiente nabla p aponta na direção de crescimento máximo de p.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de p(x,y):
partial ppartial x=6x, partial ppartial y=4y
Assim, nabla p(x,y)=(6x,4y).

Passo 4

Avaliamos o gradiente no ponto (2,3):
nabla p(2,3)=(6cdot 2,;4cdot 3)=(12,12)
Esse vetor indica a direção de maior aumento de pressão nesse ponto.

Passo 5

Para obter uma direção (vetor unitário) basta normalizar (12,12). Como seu módulo é 12raiz2, a direção unitária fica
1raiz2(1,1)
Ou seja, devemos seguir na direção nordeste, formando 45° com os eixos.

Resposta

A direção de voo deve ser o vetor unitário l(1/raiz2,,1/raiz2r), isto é, rumo nordeste (45°).

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