22. \lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,0,0)} \operatorname{arctg}\left[\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right]

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} \operatorname{arctg}\!\Bigl[\tfrac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\Bigr].
O conteúdo é cálculo de limite de função de várias variáveis. Vamos analisar o comportamento de x^{2}+y^{2}+z^{2} quando (x,y,z)\to(0,0,0).

Passo 2

Defina \rho^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}. Ao nos aproximarmos de (0,0,0), temos \rho^{2}\to0^{+}. A expressão dentro do arco-tangente vira
\frac{1}{\rho^{2}},
logo o limite se reduz a estudar \arctan(1/\rho^{2}) quando \rho^{2}\to0^{+}.

Passo 3

Para \rho^{2}\to0^{+} vale \tfrac{1}{\rho^{2}}\to+\infty. E sabemos que
\lim_{u\to+\infty}\arctan(u)=\frac{\pi}{2}.

Passo 4

Como o resultado depende apenas de \rho^{2} e não do caminho, concluímos que
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\operatorname{arctg}\!\Bigl[\tfrac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\Bigr] =\frac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

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