16 Seja A é uma matriz unitária e suponha que B=A P, onde P é não singular. Mostre que P B^-1 é unitária.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dada uma matriz unitária A e uma matriz não singular P, se definirmos B = A P, então P B^-1 também é unitária. Vamos usar a definição de matriz unitária ( M^*M = I) e propriedades de inversa e adjunta.

Passo 2

Primeiro, encontramos a inversa de B. Como B = A P e P é inversível, temos
B^-1 = (A P)^-1 = P^-1 A^-1

Passo 3

Como A é unitária, A^-1 = A^*. Substituindo, vem
B^-1 = P^-1 A^*

Passo 4

Agora, calculamos o produto P B^-1:
P B^-1 = P l(P^-1 A^*r) = A^*

Passo 5

Por fim, lembramos que a adjunta de uma matriz unitária é também unitária, pois
(A^*)^* ,A^* = A ,A^* = I
Logo, P B^-1 = A^* é unitária, como queríamos mostrar.

Resposta

Como P B^-1 = A^* e A^* é unitária, concluímos que P B^-1 é unitária.

Exercícios relacionados