16 Seja
é uma matriz unitária e suponha que
, onde
é não singular. Mostre que
é unitária.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dada uma matriz unitária
e uma matriz não singular
, se definirmos
, então
também é unitária. Vamos usar a definição de matriz unitária (
) e propriedades de inversa e adjunta.
Passo 2
Primeiro, encontramos a inversa de
. Como
e
é inversível, temos
Passo 3
Como
é unitária,
. Substituindo, vem
Passo 4
Agora, calculamos o produto
:
Passo 5
Por fim, lembramos que a adjunta de uma matriz unitária é também unitária, pois
Logo,
é unitária, como queríamos mostrar.
Resposta
Como
e
é unitária, concluímos que
é unitária.