Ache uma base e a dimensão do espaço de soluções de cada um dos sistemas lineares abaixo em
:
Passo 1
O exercício pede para a gente achar uma base e a dimensão do espaço de soluções do sistema homogêneo 2x₁ + 3x₂ − x₃ = 0 em ℝ³. O conteúdo é resolução de sistemas lineares homogêneos, em que o conjunto de soluções forma um subespaço, e precisamos expressar a solução geral em forma paramétrica para extrair uma base e a dimensão desse subespaço.
Passo 2
Começamos isolando uma variável. Da equação 2x₁ + 3x₂ − x₃ = 0 temos:
Logo,
Aqui vemos que x₂ e x₃ são livres (parâmetros).
Passo 3
Denotando x₂ = s e x₃ = t, o vetor solução x = (x₁,x₂,x₃) fica:
Podemos separar em combinação linear de s e t:
Passo 4
Para evitar frações na base, basta escolher vetores proporcionais inteiros. Podemos multiplicar cada gerador por 2 (e ajustar s,t):
Verifique que
e
de modo que ambos satisfazem a equação e são linearmente independentes.
Passo 5
Como tiramos 2 vetores independentes que geram todo o espaço de soluções, concluímos que a dimensão do espaço de soluções é o número de vetores na base, ou seja, 2.
Resposta
Uma base do espaço de soluções é {(−3,2,0),(1,0,2)} e sua dimensão é 2.