Ache uma base e a dimensão do espaço de soluções de cada um dos sistemas lineares abaixo em R^n :
2 x1+3 x2-x3=0 (n=3)

Passo 1

O exercício pede para a gente achar uma base e a dimensão do espaço de soluções do sistema homogêneo 2x₁ + 3x₂ − x₃ = 0 em ℝ³. O conteúdo é resolução de sistemas lineares homogêneos, em que o conjunto de soluções forma um subespaço, e precisamos expressar a solução geral em forma paramétrica para extrair uma base e a dimensão desse subespaço.

Passo 2

Começamos isolando uma variável. Da equação 2x₁ + 3x₂ − x₃ = 0 temos:
2x1 = -3x2 + x3
Logo,
x1 = -3x2 + x32
Aqui vemos que x₂ e x₃ são livres (parâmetros).

Passo 3

Denotando x₂ = s e x₃ = t, o vetor solução x = (x₁,x₂,x₃) fica:
x = l(-3s + t2,,s,,tr)
Podemos separar em combinação linear de s e t:
x = sl(-tfrac32,1,0r) + tl(tfrac12,0,1r)

Passo 4

Para evitar frações na base, basta escolher vetores proporcionais inteiros. Podemos multiplicar cada gerador por 2 (e ajustar s,t):
v1 = (-3,2,0),
v2 = (1,0,2)
Verifique que
2(-3)+3cdot2-0 = 0
e
2cdot1+3cdot0-2 = 0
de modo que ambos satisfazem a equação e são linearmente independentes.

Passo 5

Como tiramos 2 vetores independentes que geram todo o espaço de soluções, concluímos que a dimensão do espaço de soluções é o número de vetores na base, ou seja, 2.

Resposta

Uma base do espaço de soluções é {(−3,2,0),(1,0,2)} e sua dimensão é 2.

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