S-4.15 Mostre que se um número da forma 7 n-5 é múltiplo de 5 , então o número 12 n^2+19 n-19 é múltiplo de 25 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sempre que um inteiro n satisfaz
7n - 5 equiv 0 pmod5,
então também
12n^2 + 19n - 19 equiv 0 pmod25
O método será usar aritmética modular para traduzir a hipótese em forma de congruência e depois verificar a segunda expressão módulo 25.

Passo 2

Da hipótese
7n - 5 equiv 0 pmod5
temos, como 7equiv2pmod5,
2n - 5 equiv 0 pmod5 Longrightarrow 2n equiv 5 equiv 0 pmod5
Como gcd(2,5)=1, podemos multiplicar pelo inverso de 2 em Z5 e obtemos
n equiv 0 pmod5
Isto é, existe kin Z tal que
n = 5k

Passo 3

Substituindo n=5k em
,12n^2+19n-19, vem
12(5k)^2 + 19(5k) - 19 = 300k^2 + 95k - 19
Para estudar isso módulo 25, note que
300k^2 equiv 0pmod25, 95k equiv (25cdot3 + 20)k equiv 20k pmod25
Logo
300k^2 + 95k - 19 equiv 20k - 19 pmod25

Passo 4

Para termos 12n^2+19n-19equiv0pmod25 seria necessário
20k - 19 equiv 0 pmod25,
isto é,
20k equiv 19 pmod25
Mas gcd(20,25)=5 e 5 não divide 19, de modo que essa congruência não tem solução em inteiros k. Concluímos que, mesmo partindo de nequiv0pmod5, a expressão 12n^2+19n-19 nunca é múltipla de 25.

Passo 5

Como não existe inteiro n que satisfaça a condição dada e ao mesmo tempo faça 12n^2+19n-19 ser múltiplo de 25, o enunciado é falso.
Um contraexemplo simples é
n=5: 7cdot5 - 5 = 30 (mú<iplo de 5), 12cdot5^2 + 19cdot5 - 19 = 376 ú
e 376 não é múltiplo de 25.

Resposta

A afirmação é falsa; não existe inteiro n que torne simultaneamente 7n-5 múltiplo de 5 e 12n^2+19n-19 múltiplo de 25.

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