S-4.15 Mostre que se um número da forma
é múltiplo de 5 , então o número
é múltiplo de 25 .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, sempre que um inteiro
satisfaz
então também
O método será usar aritmética modular para traduzir a hipótese em forma de congruência e depois verificar a segunda expressão módulo 25.
Passo 2
Da hipótese
temos, como
,
Como
, podemos multiplicar pelo inverso de
em
e obtemos
Isto é, existe
tal que
Passo 3
Substituindo
em
, vem
Para estudar isso módulo 25, note que
Logo
Passo 4
Para termos
seria necessário
isto é,
Mas
e
não divide
, de modo que essa congruência não tem solução em inteiros
. Concluímos que, mesmo partindo de
, a expressão
nunca é múltipla de 25.
Passo 5
Como não existe inteiro
que satisfaça a condição dada e ao mesmo tempo faça
ser múltiplo de 25, o enunciado é falso.
Um contraexemplo simples é
e
não é múltiplo de
.
Resposta
A afirmação é falsa; não existe inteiro
que torne simultaneamente
múltiplo de 5 e
múltiplo de 25.