Problema 4.14. Suponha que a equiv b bmod m. Mostre que
a times c equiv b times c bmod m,
qualquer que seja o inteiro c.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma congruência ,aequiv bbmod m e pede para mostrar que, multiplicando ambos por qualquer inteiro c, ainda vale a congruência
atimes cequiv btimes cbmod m
O conteúdo aqui é a definição de congruência modular via divisibilidade e uso de propriedades de números inteiros.

Passo 2

Pela definição de congruência, ,aequiv bbmod m significa que existe um inteiro k tal que
a - b = m,k

Passo 3

Multiplicamos essa igualdade por c, que é um inteiro qualquer, obtendo
(a - b),c = (m,k),c Longrightarrow a,c - b,c = m,(k,c)
Como k,c também é inteiro, isso mostra que m divide a,c - b,c.

Passo 4

Pelo critério de divisibilidade na definição de congruência, a divisão de a,c - b,c por m implica exatamente
a,c equiv b,c bmod m

Resposta

Fica demonstrado que, se aequiv bbmod m, então a,cequiv b,cbmod m para todo inteiro c.

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