S-4.16 Mostre que se um número da forma 2 n+1 é múltiplo de 3 , então o número 28 n^2-13 n-5 é múltiplo de 9 .

Passo 1

O enunciado quer provar que
“se ;2n+1 é múltiplo de 3, então ;28n^2-13n-5 é múltiplo de 9”.
O conteúdo é de aritmética modular: vamos usar as congruências para ver se essa afirmação é verdadeira.

Passo 2

Suponha que 2n+1 seja múltiplo de 3. Então existe inteiro m tal que
2n+1 = 3m
Como 2 é inversível módulo 3 (pois 2cdot2equiv1pmod3), temos
n equiv 2cdot(-1)equiv1pmod3,
ou seja, n=3k+1 para algum inteiro k.

Passo 3

Substituindo n=3k+1 em
Q=28n^2-13n-5
vem
Q = 28(3k+1)^2 -13(3k+1)-5 =252k^2+168k+28 -39k-13 -5 =252k^2 +129k +10
Agora separamos múltiplos de 9:
252k^2 = 9cdot28k^2, 129k = 9cdot14k + 3k, 10 = 9 + 1
Logo
Q = 9(28k^2+14k+1) + (3k+1)
Portanto
Q equiv 3k+1 pmod9

Passo 4

Para Q ser múltiplo de 9 precisaríamos de
3k+1 equiv 0pmod9
Mas a congruência 3kequiv-1pmod9 não tem solução inteira, pois o lado direito não é múltiplo de 3. Em particular, basta tomar o caso k=0 (isto é, n=1):

Passo 5

Se n=1 então 2n+1=3 é múltiplo de 3, mas
28cdot1^2 -13cdot1 -5 = 28 -13 -5 = 10
não é múltiplo de 9. Logo há contra-exemplo.

Resposta

A afirmação é falsa (contra-exemplo: n=1).

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