S-4.16 Mostre que se um número da forma
é múltiplo de 3 , então o número
é múltiplo de 9 .
Passo 1
O enunciado quer provar que
“se é múltiplo de 3, então
é múltiplo de 9”.
O conteúdo é de aritmética modular: vamos usar as congruências para ver se essa afirmação é verdadeira.
“se
O conteúdo é de aritmética modular: vamos usar as congruências para ver se essa afirmação é verdadeira.
Passo 2
Suponha que
seja múltiplo de 3. Então existe inteiro
tal que
Como
é inversível módulo 3 (pois
), temos
ou seja,
para algum inteiro
.
Passo 3
Substituindo
em
vem
Agora separamos múltiplos de 9:
Logo
Portanto
Passo 4
Para
ser múltiplo de 9 precisaríamos de
Mas a congruência
não tem solução inteira, pois o lado direito não é múltiplo de 3. Em particular, basta tomar o caso
(isto é,
):
Passo 5
Se
então
é múltiplo de 3, mas
não é múltiplo de 9. Logo há contra-exemplo.
Resposta
A afirmação é falsa (contra-exemplo:
).