Use a regra da cadeia para determinar partial zpartial u e partial zpartial v .
z=8 x^2 y-2 x+3 y ; x=u v, y=u-v

Passo 1

O enunciado dá a função
z = 8x^2y - 2x + 3y
com as substituições
x = uv e y = u - v.
O conteúdo é aplicação da regra da cadeia para derivadas parciais: vamos calcular primeiro partial z/partial x e partial z/partial y, depois partial x/partial u, partial x/partial v, partial y/partial u, partial y/partial v e, por fim, montar partial z/partial u e partial z/partial v.

Passo 2

Derivando z em relação a x e a y (tratando y e x como constantes, respectivamente), obtemos
partial zpartial x = 16xy - 2,
partial zpartial y = 8x^2 + 3

Passo 3

Derivadas das expressões de x e y em função de u,v:
x = uv ;Rightarrow; partial xpartial u = v, partial xpartial v = u,
y = u - v ;Rightarrow; partial ypartial u = 1, partial ypartial v = -1

Passo 4

Pela regra da cadeia temos
partial zpartial u = partial zpartial x,partial xpartial u + partial zpartial y,partial ypartial u = (16xy - 2),v + (8x^2 + 3)cdot 1,
partial zpartial v = partial zpartial x,partial xpartial v + partial zpartial y,partial ypartial v = (16xy - 2),u + (8x^2 + 3),(-1)

Passo 5

Substituindo x = uv e y = u - v e simplificando:
partial zpartial u = l(16,(uv)(u-v)-2r)v ;+; l(8,(uv)^2+3r) =24u^2v^2-16u,v^3-2v+3,
partial zpartial v = l(16,(uv)(u-v)-2r)u ;-; l(8,(uv)^2+3r) =16u^3v-24u^2v^2-2u-3

Resposta

partial zpartial u = 24u^2v^2 -16u,v^3 -2v +3,
partial zpartial v = 16u^3v -24u^2v^2 -2u -3

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