( 15 pontos) Calcule o valor do determinante da matriz, A=[rrrrr1 & 2 & 3 & -4 & 2 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 4 & 0 & 2 & 1 0 & -5 & 5 & 1 & 4 0 & 1 & 0 & -1 & 2]. Explicite os passos da solução.

Passo 1

O enunciado pede o valor do determinante da matriz
A= 1 & 2 & 3 & -4 & 2 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 4 & 0 & 2 & 1 0 & -5 & 5 & 1 & 4 0 & 1 & 0 & -1 & 2
O conteúdo que vamos usar é expansão por cofatores (menores) aproveitando linhas ou colunas com muitos zeros.

Passo 2

Expandimos det(A) pela primeira coluna. Como todos os elementos abaixo de a11 são zeros, fica
det(A)=a11,det(M11)
onde a11=1 e M11 é a submatriz obtida ao eliminar a primeira linha e a primeira coluna de A.

Passo 3

A submatriz M11 é a matriz 4times4
B = M11 = 1 & 0 & 0 & 0 4 & 0 & 2 & 1 -5 & 5 & 1 & 4 1 & 0 & -1 & 2
Logo det(A)=1cdotdet(B)=det(B).

Passo 4

Para calcular det(B) observamos que a primeira linha de B é (1,0,0,0). Expandindo por essa linha, só o primeiro cofator sobrevive:
det(B) =1cdotdet(C),
onde C é a submatriz 3times3 obtida eliminando a primeira linha e a primeira coluna de B.

Passo 5

A matriz C é
C= 4 & 2 & 1 -5 & 1 & 4 1 & -1 & 2
Vamos usar expansão por cofatores na primeira linha de C:
det(C) =4det1 & 4 -1 & 2 -2det-5 & 4 1 & 2 +1det-5 & 1 1 & -1
Agora calculamos cada menor:
det1 & 4 -1 & 2 =1cdot2 - 4cdot(-1)=6,
det-5 & 4 1 & 2 =(-5)cdot2 - 4cdot1=-14,
det-5 & 1 1 & -1 =(-5)cdot(-1) - 1cdot1=4
Substituindo:
det(C)=4cdot6 -2cdot(-14) +1cdot4 =24 +28 +4 =56

Passo 6

Reunindo tudo:
det(B)=det(C)=56 e det(A)=det(B)=56

Resposta

O valor do determinante de A é 56.

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