Determine, se possível, para que a matriz seja:
(a) Simétrica.
(b) Anti-simétrica.
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os valores de xinR tais que a matriz
A(x)= 0 & 2x & 1 x^2 & 0 & 4x x+1 & x^3 & 0
seja (a) simétrica e (b) anti-simétrica.
Conteúdo: vamos usar as definições
– matriz simétrica: A=A^T, isto é, aij=aji para todo i,j.
– matriz anti-simétrica: A^T=-A, isto é, aii=0 (já ocorre) e aij=-aji para ineq j.
Passo 2
Para A ser simétrica precisamos das igualdades a12=a21, a13=a31 e a23=a32.
Escrevendo-as em x:
2x = x^2
1 = x+1
4x = x^3
Da equação 2 vem imediatamente x=0.
Verificando em 1: 2cdot0=0^2 (ok) e em 3: 4cdot0=0^3 (ok).
Logo, a única solução real para simetria é x=0.
Passo 3
Para A ser anti-simétrica precisamos de aij=-aji para ineq j. Escrevendo:
2x + x^2=0
1 + (x+1)=0
4x + x^3=0
Da equação 2 vem x+1=-1, logo x=-2.
Mas em 1: 2(-2)+(-2)^2=-4+4=0 (ok) e em 3: 4(-2)+(-2)^3=-8-8=-16neq0.
Portanto, não há nenhum xinR que satisfaça simultaneamente todas as condições de anti-simetria.
Resposta
(a) x=0
(b) não existe xinR que torne A anti-simétrica.