Determine, se possível, x in R para que a matriz [ccc0 & 2 x & 1 x^2 & 0 & 4 x x+1 & x^3 & 0] seja:
(a) Simétrica.
(b) Anti-simétrica.

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os valores de xinR tais que a matriz
A(x)= 0 & 2x & 1 x^2 & 0 & 4x x+1 & x^3 & 0
seja (a) simétrica e (b) anti-simétrica.
Conteúdo: vamos usar as definições
– matriz simétrica: A=A^T, isto é, aij=aji para todo i,j.
– matriz anti-simétrica: A^T=-A, isto é, aii=0 (já ocorre) e aij=-aji para ineq j.

Passo 2

Para A ser simétrica precisamos das igualdades
a12=a21, a13=a31 e a23=a32.
Escrevendo-as em x:
  1. 2x = x^2
  2. 1 = x+1
  3. 4x = x^3
    Da equação 2 vem imediatamente x=0.
    Verificando em 1: 2cdot0=0^2 (ok) e em 3: 4cdot0=0^3 (ok).
    Logo, a única solução real para simetria é x=0.

Passo 3

Para A ser anti-simétrica precisamos de
aij=-aji para ineq j. Escrevendo:
  1. 2x + x^2=0
  2. 1 + (x+1)=0
  3. 4x + x^3=0
    Da equação 2 vem x+1=-1, logo x=-2.
    Mas em 1: 2(-2)+(-2)^2=-4+4=0 (ok) e em 3: 4(-2)+(-2)^3=-8-8=-16neq0.
    Portanto, não há nenhum xinR que satisfaça simultaneamente todas as condições de anti-simetria.

Resposta

(a) x=0
(b) não existe xinR que torne A anti-simétrica.

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