( 15 pontos) Sejam
e
matrizes
invertíveis tais que
e
onde
denota a matriz identidade. Calcule o determinante da matriz
. Explicite os passos da solução.
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes invertíveis
e
de ordem 4, com
, e a relação
Queremos encontrar
. Vamos usar propriedades de determinante de produtos, inversa, escalar e transposta.
Passo 2
Aplicamos determinante em ambos os lados da igualdade. Como
e
para matriz
, obtemos
Passo 3
Agora decompondo o lado esquerdo em fatores:
Passo 4
Multiplicando tudo:
Dentro dessa expressão, o fator
no denominador cancela um no numerador, sobrando
Portanto a igualdade de determinantes fica
Passo 5
Isolando
: