( 15 pontos) Sejam P e Q matrizes 4 times 4 invertíveis tais que det(P)=3 e
P^3(P Q)^-1(2 Q) Q^t=6 I4
onde I4 denota a matriz identidade. Calcule o determinante da matriz Q. Explicite os passos da solução.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes invertíveis P e Q de ordem 4, com det(P)=3, e a relação
P^3,(P Q)^-1,(2 Q),Q^t=6,I4
Queremos encontrar det(Q). Vamos usar propriedades de determinante de produtos, inversa, escalar e transposta.

Passo 2

Aplicamos determinante em ambos os lados da igualdade. Como det(AB)=det(A),det(B) e det(cA)=c^ndet(A) para matriz ntimes n, obtemos
detl(P^3(P Q)^-1(2 Q)Q^tr) =det(6,I4) =6^4,det(I4) =6^4

Passo 3

Agora decompondo o lado esquerdo em fatores:
  1. det(P^3)=(det P)^3=3^3=27
  2. detl((P Q)^-1r)=l(det(PQ)r)^-1=1det(P),det(Q)=13,det(Q)
  3. det(2Q)=2^4,det(Q)=16,det(Q)
  4. det(Q^t)=det(Q)

Passo 4

Multiplicando tudo:
det(P^3);detl((PQ)^-1r);det(2Q);det(Q^t) =27;13,det(Q);16,det(Q);det(Q)
Dentro dessa expressão, o fator det(Q) no denominador cancela um no numerador, sobrando
27;163;det(Q) =9cdot16;det(Q) =144,det(Q)
Portanto a igualdade de determinantes fica
144,det(Q)=6^4=1296

Passo 5

Isolando det(Q):
det(Q)=1296144=9

Resposta

det(Q)=9.

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