. ( 15 pontos) Considere V e W vetores unitários e que formam um ângulo de 60^{\circ} entre si. Seja X o vetor dado por X=a V+b W, onde a, b \in \mathbb{R}. Sabendo que \left\{\begin{array}{l}X \cdot V=3 \\\ X \cdot W=-5\end{array}\right., calcule os valores de a e b.
\operatorname{sen} 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} \quad \cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores unitários V e W com ângulo de 60^\circ entre si, e define
X = a\,V + b\,W,
onde a,b\in\mathbb{R}. Sabe-se que
X\cdot V = 3 \quad\text{e}\quad X\cdot W = -5.
Para resolver, vamos usar as propriedades do produto escalar:
V\cdot V = 1, W\cdot W = 1 e V\cdot W = \cos 60^\circ = \tfrac12.

Passo 2

Calcular X\cdot V pela linearidade:
X\cdot V = (a\,V + b\,W)\cdot V = a\,(V\cdot V) + b\,(W\cdot V) = a + b\cos 60^\circ = a + \tfrac12 b.
Como X\cdot V=3, obtemos a primeira equação
a + \tfrac12 b = 3.

Passo 3

Calcular X\cdot W de forma análoga:
X\cdot W = (a\,V + b\,W)\cdot W = a\,(V\cdot W) + b\,(W\cdot W) = a\cos 60^\circ + b = \tfrac12 a + b.
Como X\cdot W=-5, temos a segunda equação
\tfrac12 a + b = -5.

Passo 4

Resolver o sistema
\begin{cases} a + \tfrac12 b = 3,\\\ \tfrac12 a + b = -5. \end{cases}
Multiplicando a segunda equação por 2, fica
a + 2b = -10.
Agora subtraímos essa da primeira (escrita como a + \tfrac12 b = 3):

Passo 5

Fazendo
\bigl(a + \tfrac12 b\bigr) - (a + 2b) = 3 - (-10) \quad\Longrightarrow\quad -\tfrac32 b = 13 \quad\Longrightarrow\quad b = -\tfrac{26}{3}.
Para achar a, substituímos em a + \tfrac12 b = 3:
a = 3 - \tfrac12\bigl(-\tfrac{26}{3}\bigr) = 3 + \tfrac{13}{3} = \tfrac{9}{3} + \tfrac{13}{3} = \tfrac{22}{3}.

Resposta

a = \tfrac{22}{3},\quad b = -\tfrac{26}{3}.

Exercícios relacionados