Questão 13. Determine a interseção da reta r com o plano \pi, nos seguintes casos:
r: x-1=y-2=2(z-1) e \pi: P=h(6,2,1)+t(1,2,1), h, t \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede r\cap\pi, onde a reta r está em forma simétrica e o plano \pi em forma paramétrica. O conteúdo é interseção de reta e plano em \mathbb{R}^3. Para resolver vamos parametrizar r e \pi, igualar coordenadas e ver quantas soluções aparecem.

Passo 2

Parametrização da reta r. Sejam
x-1=y-2=2(z-1)=s,\quad s\in\mathbb{R}.
Logo
\begin{cases} x=1+s,\\\ y=2+s,\\\ z=1+\dfrac{s}{2}, \end{cases} \quad s\in\mathbb{R}.

Passo 3

Parametrização do plano \pi. Como
P=h\,(6,2,1)+t\,(1,2,1), \quad h,t\in\mathbb{R},
temos
\begin{cases} x=6h+t,\\\ y=2h+2t,\\\ z=h+t, \end{cases} \quad h,t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Igualando as coordenadas de r\) e \(\pi\), obtemos o sistema \[\begin{cases} 1+s=6h+t,\\\\ 2+s=2h+2t,\\\\ 1+\tfrac{s}{2}=h+t. \end{cases}
Da segunda e da terceira equação vem
s=2h+2t-2 \quad\text{e}\quad s=2(h+t-1)=2h+2t-2,
que coincidem. Igualando com a primeira:
6h+t-1=2h+2t-2 \;\Rightarrow\; 4h-t=-1 \;\Rightarrow\; t=4h+1.
Substituindo em s=2h+2t-2\] dá \(s=10h. Como sobra o parâmetro livre h, há infinitas soluções, ou seja, todos os pontos de r satisfazem a equação de \pi.

Passo 5

Concluímos que a reta r está contida em \pi, logo
r\cap\pi = r.

Resposta

A reta r está contida no plano \pi, portanto
r\cap\pi = r.

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