Questão 6. Escreva as equações simétricas da reta r que passa pelo ponto P(1,1,1) e tem a direção de um vetor normal ao plano \alpha:\left\{\begin{array}{l}x=1+2 t \\\ y=2-t+3 h ; t, h \in \mathbb{R} . \\\ z=t+h\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um plano \alpha\) em forma paramétrica \[\begin{cases} x = 1 + 2t,\\\ y = 2 - t + 3h,\\\ z = t + h, \end{cases} \quad t,h\in\mathbb{R},
e pede a reta r\] que passa por \(P(1,1,1) e tem direção dada por um vetor normal a \alpha. Para isso, vamos extrair dois vetores diretores de \alpha e calcular seu produto vetorial, obtendo assim um vetor normal ao plano.

Passo 2

Os parâmetros t e h geram os vetores diretores de \alpha:
\vec v_1 = (2,\,-1,\,1) \quad\text{e}\quad \vec v_2 = (0,\,3,\,1).

Passo 3

O vetor normal \vec n ao plano é o produto vetorial \vec v_1\times\vec v_2. Calculamos:
\vec n = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 2 & -1 & 1\\\\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} = (-1\cdot1 - 1\cdot3)\,\mathbf{i} - (2\cdot1 - 1\cdot0)\,\mathbf{j} + (2\cdot3 - (-1)\cdot0)\,\mathbf{k} = (-4,\,-2,\,6).
Para simplificar, podemos dividir por -2 e usar
\vec n = (2,\,1,\,-3) como vetor direção da reta.

Passo 4

A reta r passa por P(1,1,1) e tem direção \vec n=(2,1,-3). Suas equações simétricas são
\frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-1}{-3}.

Resposta

\frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-1}{-3}.

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