(2.0 pontos) Dada a funçāo f(x)=x^{2}+3 x-5, determine sua derivada usando a definiçāo

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=x^{2}+3x-5 e pede para encontrar a derivada de f usando a definição. O conteúdo envolvido é a definição de derivada pelo quociente incremental, que diz:
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}.

Passo 2

Primeiro, calculamos f(x+h). Basta substituir x por x+h em f:
f(x+h) = (x+h)^{2} + 3(x+h) - 5
Agora expandimos:
(x+h)^{2} = x^{2} + 2xh + h^{2}, \quad 3(x+h) = 3x + 3h,
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f(x+h) = x^{2} + 2xh + h^{2} + 3x + 3h - 5.

Passo 3

Em seguida, formamos a diferença f(x+h) - f(x). Como f(x) = x^{2} + 3x - 5, temos
f(x+h) - f(x) = \bigl(x^{2} + 2xh + h^{2} + 3x + 3h - 5\bigr) - \bigl(x^{2} + 3x - 5\bigr).
Cancelando x^{2}, 3x e -5, sobra
f(x+h) - f(x) = 2xh + h^{2} + 3h.

Passo 4

Agora dividimos pelo incremento h:
\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{2xh + h^{2} + 3h}{h} = 2x + h + 3.

Passo 5

Por fim, tomamos o limite quando h\to0:
f'(x) = \lim_{h \to 0} \bigl(2x + h + 3\bigr) = 2x + 3.

Resposta

A derivada de f(x) é f'(x)=2x+3.

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