Derive as seguintes funçöes:
f(x)=\ln (x+1)+\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\ln(x+1)+\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}
e pede a derivada f'(x). O conteúdo aqui é derivação de funções elementares: logaritmo e potência.

Passo 2

Reescrevemos
\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}=x^{-\tfrac{4}{3}},
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f(x)=\ln(x+1)+x^{-\tfrac{4}{3}}.

Passo 3

Pela regra da soma de derivadas, temos
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x+1)\bigr]+\frac{d}{dx}\bigl[x^{-\tfrac{4}{3}}\bigr].

Passo 4

Para o termo \ln(x+1), aplicamos a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\ln(x+1)=\frac{1}{x+1}.

Passo 5

Para o termo x^{-\tfrac{4}{3}}, usamos a regra da potência \frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}:
\frac{d}{dx}x^{-\tfrac{4}{3}} =-\tfrac{4}{3}\,x^{-\tfrac{4}{3}-1} =-\tfrac{4}{3}\,x^{-\tfrac{7}{3}}.

Passo 6

Somando os resultados:
f'(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{4}{3}\,x^{-\tfrac{7}{3}} =\frac{1}{x+1}-\frac{4}{3x^{\tfrac{7}{3}}}.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{4}{3x^{\tfrac{7}{3}}}.

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