(15 pontos) Encontre a decomposição P A=L U para a matriz A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 3 \\\\ 2 & 5 & 8\end{array}\right). Resposta: A=L U \operatorname{com} L=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 2 & 1 & 1\end{array}\right) e U=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right) ou P A=L U com P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right) L=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right) e U=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) são duas das respostas possíveis. A primeira obtida por escalonamento sem trocar linhas e a segunda com troca de linhas.

Passo 1

O enunciado pede a fatoração PA=LU para
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 3\\\\ 2 & 5 & 8 \end{pmatrix}.
Aqui vamos mostrar duas formas: sem permutar linhas (ou seja P=I) e com uma permutação simples para ilustrar P\neq I.

Passo 2

Fatoração sem troca de linhas P=I.
Usamos eliminação de Gauss direto em A. O pivô de primeira coluna é a_{11}=1. Calculamos
\ell_{21} = \frac{a_{21}}{a_{11}} = \frac{0}{1}=0, \quad \ell_{31} = \frac{a_{31}}{a_{11}} = \frac{2}{1}=2.
Subtraímos \ell_{i1} vezes a linha 1 das linhas 2 e 3:
R_2 \;\longleftarrow\; R_2 - 0\cdot R_1 = (0\;1\;3), \quad R_3 \;\longleftarrow\; R_3 - 2\cdot R_1 = (0\;1\;2).

Passo 3

Agora o pivô na segunda coluna é o novo a_{22}=1. Calculamos
\ell_{32} = \frac{\text{novo }a_{32}}{a_{22}} = \frac{1}{1}=1.
Subtraímos esse múltiplo da linha 2 da linha 3:
R_3 \;\longleftarrow\; R_3 - 1\cdot R_2 = (0\;0\;-1).
O resultado triangular é
U = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 3\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 4

As entradas de L são os \ell_{ij} obtidos mais 1 na diagonal. Como \ell_{21}=0, \ell_{31}=2 e \ell_{32}=1, temos
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix},
e como não houve permutação, P=I. Logo
A = LU \quad\text{com}\quad L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad U=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 3\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Fatoração com permutação de linhas.
Escolhemos permutar as linhas 2 e 3 de A antes de eliminar. A matriz de permutação é
P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},
logo
PA = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 2 & 5 & 8\\\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
Eliminamos então em PA:
  1. Pivô em (1,1)=1, \ell_{21}=2.
    R_2 \gets R_2-2R_1 = (0\;1\;2). 2. Pivô em (2,2)=1, \ell_{32}=1.
    R_3 \gets R_3-1R_2 = (0\;0\;1). Isso gera
U = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

Sem permutação P=I:
A = LU,\quad L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix},\quad U=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 3\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Com permutação P\neq I:
P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},\quad L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix},\quad U=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

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