(15 pontos) Encontre a decomposição
para a matriz
. Resposta:
e
ou
com
e
são duas das respostas possíveis. A primeira obtida por escalonamento sem trocar linhas e a segunda com troca de linhas.
Passo 1
O enunciado pede a fatoração
para
Aqui vamos mostrar duas formas: sem permutar linhas (ou seja
) e com uma permutação simples para ilustrar
.
Passo 2
Fatoração sem troca de linhas
.
Usamos eliminação de Gauss direto em . O pivô de primeira coluna é
. Calculamos
Usamos eliminação de Gauss direto em
Subtraímos
vezes a linha 1 das linhas 2 e 3:
Passo 3
Agora o pivô na segunda coluna é o novo
. Calculamos
Subtraímos esse múltiplo da linha 2 da linha 3:
O resultado triangular é
Passo 4
As entradas de
são os
obtidos mais 1 na diagonal. Como
,
e
, temos
e como não houve permutação,
. Logo
Passo 5
Fatoração com permutação de linhas.
Escolhemos permutar as linhas 2 e 3 de antes de eliminar. A matriz de permutação é
Escolhemos permutar as linhas 2 e 3 de
logo
Eliminamos então em
:
- Pivô em
, .
2. Pivô em , .
Isso gera
Resposta
Sem permutação
:
Com permutação
: