(5 pontos) Considere o vetor v=\left(\begin{array}{c}1 \\\\ 1 \\\\ -1 \\\\ 1\end{array}\right) e um outro vetor w em \mathbb{R}^{4}. Sabendo que \langle v, w\rangle=-6 assinale o menor valor possível para |w|
A. 2
B. 3
C. 0
D. 4
E. Nenhuma das alternativas acima

Passo 1

O enunciado fornece o vetor
v = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}
em \mathbb{R}^4 e um vetor w tal que \langle v,w\rangle=-6. Queremos o menor valor possível de \|w\|. O conteúdo é produto interno e desigualdade de Cauchy–Schwarz.

Passo 2

Calcular a norma de v:
\|v\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2.

Passo 3

Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz temos
|\langle v,w\rangle| \le \|v\|\,\|w\|.
Como \langle v,w\rangle = -6, segue
\|w\| \ge \frac{|\langle v,w\rangle|}{\|v\|} = \frac{6}{2} = 3.

Passo 4

A igualdade em Cauchy–Schwarz ocorre quando w é paralelo a v, logo o menor valor de \|w\| é 3.

Resposta

B

Exercícios relacionados