(15 pontos) Sejam u=\left(\begin{array}{l}2 \\\\ 4 \\\\ 2 \\\\ 4\end{array}\right) e v=\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right) vetores em \mathbb{R}^{4}. Encontre um vetor w que satisfaça ambas as condições abaixo.
w é ortogonal a v
u-w é um vetor na direção de v.
Sol: Defina u-w=P_{v}(u). Então u-w está na direção de v e w=u-P_{v}(u) \perp v pelas propriedades da projeção ortogonal. Como \langle u, v\rangle=12 e |v|^{2}=4 vale que P_{v}(u)=\left(\begin{array}{l}3 \\\\ 3 \\\\ 3 \\\\ 3\end{array}\right) \operatorname{assim} w=\left(\begin{array}{c}-1 \\\\ 1 \\\\ -1 \\\\ 1\end{array}\right).
Passo 1
O enunciado pede um vetor w\in\mathbb{R}^4 tal que
w\perp v
u-w seja paralelo a v.
O conteúdo aqui é decomposição de vetores em parte paralela e ortogonal a outro vetor, usando a projeção ortogonal. Vamos usar a fórmula
P_{v}(u)=\frac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^2}\,v,
que dá a componente de u na direção de v, e então definir u-w=P_{v}(u).
Passo 2
Calculamos primeiro o produto interno \langle u,v\rangle e o quadrado da norma de v: