(15 pontos) Sejam u=\left(\begin{array}{l}2 \\\\ 4 \\\\ 2 \\\\ 4\end{array}\right) e v=\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right) vetores em \mathbb{R}^{4}. Encontre um vetor w que satisfaça ambas as condições abaixo.
  • w é ortogonal a v
  • u-w é um vetor na direção de v.
Sol: Defina u-w=P_{v}(u). Então u-w está na direção de v e w=u-P_{v}(u) \perp v pelas propriedades da projeção ortogonal. Como \langle u, v\rangle=12 e |v|^{2}=4 vale que P_{v}(u)=\left(\begin{array}{l}3 \\\\ 3 \\\\ 3 \\\\ 3\end{array}\right) \operatorname{assim} w=\left(\begin{array}{c}-1 \\\\ 1 \\\\ -1 \\\\ 1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede um vetor w\in\mathbb{R}^4 tal que
  1. w\perp v
  2. u-w seja paralelo a v.
    O conteúdo aqui é decomposição de vetores em parte paralela e ortogonal a outro vetor, usando a projeção ortogonal. Vamos usar a fórmula
P_{v}(u)=\frac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^2}\,v,
que dá a componente de u na direção de v, e então definir u-w=P_{v}(u).

Passo 2

Calculamos primeiro o produto interno \langle u,v\rangle e o quadrado da norma de v:
\langle u,v\rangle = 2\cdot1 + 4\cdot1 + 2\cdot1 + 4\cdot1 = 12,
\|v\|^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 = 4.

Passo 3

Aplicando a fórmula da projeção,
P_{v}(u) =\frac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^2}\,v =\frac{12}{4}\,v =3\,\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\\ 3\\\ 3\\\ 3\end{pmatrix}.

Passo 4

Como queremos u - w = P_{v}(u), temos
w = u - P_{v}(u) =\begin{pmatrix}2\\\ 4\\\ 2\\\ 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3\\\ 3\\\ 3\\\ 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}.
Por construção, u-w=P_v(u) está na direção de v e w=u-P_v(u) é ortogonal a v.

Resposta

w = \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}.

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