(20 pontos) Seja A=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\\\ 2 & 3\end{array}\right).
(a) Encontre os autovalores e autovetores de A.
(b) Encontre um vetor não nulo v em \mathbb{R}^{2} tal que \frac{\langle A v, v\rangle}{|v|^{2}} seja um número maior que 1-\frac{1}{2025} e menor que 1+\frac{1}{2025}.
Sol:
(a) \operatorname{det}(A-\lambda I)=-\lambda(3-\lambda)+2=\lambda^{2}-3 \lambda+2 \operatorname{logo} A tem autovalores \lambda_{1}=1 e \lambda_{2}=2. Resolvendo \left(A-\lambda_{1} I\right) x=\overrightarrow{0} e \left(A-\lambda_{2} I\right) y=\overrightarrow{0} encontramos que os autovetores associados a \lambda_{1}=1 tem a forma x=\binom{t}{t} t \neq 0 enquanto os autovetores associados a \lambda_{2}=2 são do tipo y=\binom{s}{-2 s} s \neq 0.
(b) Pelo item anterior, se v=\binom{1}{1} então A v=v e assim \frac{\langle A v, v\rangle}{|v|^{2}}=1 neste caso.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}0 & -1 \\[6pt] 2 & 3\end{pmatrix}
e pede em (a) seus autovalores e autovetores, e em (b) um vetor não nulo v\in\mathbb{R}^2 tal que
\frac{\langle A v, v\rangle}{|v|^2}
fique estritamente entre 1-\tfrac{1}{2025} e 1+\tfrac{1}{2025}.
Para (a) vamos usar o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0 e depois resolver os sistemas (A-\lambda I)x=0. Em (b) basta escolher um autovetor de valor próprio 1, pois aí a razão fica exatamente 1.]

Passo 2

Calcule o polinômio característico:
\det(A-\lambda I) = \det\begin{pmatrix}-\lambda & -1 \\[4pt] 2 & 3-\lambda\end{pmatrix} = (-\lambda)(3-\lambda)-(-1)\cdot2 = \lambda^2 -3\lambda +2.
Igualando a zero, obtemos
\lambda^2 -3\lambda +2 = (\lambda-1)(\lambda-2)=0 \;\Longrightarrow\; \lambda_1=1,\;\lambda_2=2.]

Passo 3

Ache um autovetor para \lambda_1=1 resolvendo (A-I)x=0:
A-I = \begin{pmatrix}-1 & -1 \\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix},
da equação -x_1 -x_2=0 segue x_2=-x_1. Logo um autovetor é
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\\ -1\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=2,
A-2I = \begin{pmatrix}-2 & -1 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix},
da equação -2y_1 -y_2=0 segue y_2=-2y_1. Assim um autovetor é
v_2 = \begin{pmatrix}1\\\\ -2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Para (b), note que se v é autovetor de valor próprio 1 então Av = 1\cdot v e
\frac{\langle A v, v\rangle}{|v|^2} = \frac{\langle v, v\rangle}{|v|^2} =1.
E 1 satisfaz
1-\frac1{2025} < 1 < 1+\frac1{2025}.
Basta escolher v=v_1 do passo anterior.

Resposta

(a) Os autovalores são \lambda_1=1 e \lambda_2=2.
Um autovetor para \lambda_1=1 é \bigl(1,-1\bigr)^T e para \lambda_2=2 é \bigl(1,-2\bigr)^T.
(b) Por exemplo, v=\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} satisfaz \displaystyle\frac{\langle A v, v\rangle}{|v|^2}=1, que está entre 1-\tfrac1{2025} e 1+\tfrac1{2025}.

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