(5 pontos) Verdadeiro ou falso? Responder \mathbf{V} ou \mathbf{F} para cada item no espaco indicado.
A. \quad \mathbf{V} Se A_{5 \times 5} é uma matriz invertível, existem um inteiro positivo k e matrizes elementares E_{1}, \ldots, E_{k} tais que E_{k} \cdots E_{1} A=I, onde I é a matriz identidade 5 \times 5.
B. \quad \mathbf{F} \quad Se u e v são vetores em \mathbb{R}^{5} tais que |u|=4 e |v|=6 então |u+v|=10.
C. \quad \mathbf{F} \quad Seja B uma matriz 4 \times 4. Se o espaço nulo de B é gerado pelos vetores \left(\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right) e \left(\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right) então o espaço coluna de B tem dimensão igual a um.
D. V Se v é um autovetor de A associado ao autovalor 8 , então v está no espaço nulo da matriz A-8 I.
E. F Se A é uma matriz 10 \times 10, então A pode ser escrita como A=L U onde L e U são matrizes quadradas 10 \times 10 \mathrm{com} L triangular inferior e U triangular superior.
Passo 1
O enunciado apresenta cinco afirmações (A–E) sobre matrizes e vetores em espaços vetoriais e pede para classificá-las como verdadeiras \mathbf{V} ou falsas \mathbf{F}. O conteúdo envolve:
Teorema de fatoração em matrizes elementares (inversibilidade).
Desigualdade triangular para normas em \mathbb{R}^n.
Teorema do posto e da nulidade (dimensão de espaço nulo versus dimensão do espaço coluna).
Definição de autovalor e autovetor.
Condições de existência de fatoração LU sem pivoteamento.
Passo 2
Analisando a afirmação A:
“Se A é invertível em \mathbb{R}^{5\times5}, existem matrizes elementares E_{1},\dots,E_{k} e um inteiro k>0 tais que
E_{k}\cdots E_{1}A = I_{5}.
Teorema: uma matriz é invertível se, e somente se, pode ser escrita como produto finito de matrizes elementares. Nesse caso E_{k}\cdots E_{1}=A^{-1}, o que implica exatamente E_{k}\cdots E_{1}A=I_{5}.
Logo, A é verdadeira.
Passo 3
Analisando a afirmação B:
“Se \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^{5} com \|\mathbf{u}\|=4 e \|\mathbf{v}\|=6 então \|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|=10.”
Pela desigualdade triangular:
e a igualdade ocorre somente se \mathbf{u} e \mathbf{v} forem colineares no mesmo sentido. Geralmente não são, então não é garantido que \|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|=10.
Logo, B é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmação C:
“Seja B\in\mathbb{R}^{4\times4}. Se o espaço nulo de B é gerado pelos vetores \displaystyle v_{1}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\;v_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\;v_{3}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},
então o espaço coluna de B tem dimensão igual a 1.”
Observação: v_{1}=v_{2}+v_{3}, logo \{v_{1},v_{2},v_{3}\} tem apenas 2 vetores independentes. Assim
Analisando a afirmação D:
“Se v é autovetor de A associado ao autovalor 8, então v está no espaço nulo de A-8I.”
Por definição, Av=8v equivale a
(A-8I)v=0,
o que diz exatamente que v\in\ker(A-8I).
Logo, D é verdadeira.
Passo 6
Analisando a afirmação E:
“Se A é 10\times10, então sempre existe fatoração A=LU com L triangular inferior e U triangular superior.”
Nem toda matriz admite LU sem permutações; precisamos de pivôs não nulos em cada passo de eliminação sem trocar linhas. Em geral é preciso um fator de permutação P tal que PA=LU.
Logo, E é falsa.
Resposta
A. \mathbf{V}
B. \mathbf{F}
C. \mathbf{F}
D. \mathbf{V}
E. \mathbf{F}