15 8. (15 pontos) Mostre que o quadrilátero de vértices A(0,-1,2), B(-2,3,5), C(4,6,2) e D(2,0,1) não é um paralelogramo.

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos em R^3:
A=(0,-1,2), B=(-2,3,5), C=(4,6,2) e D=(2,0,1).
Queremos mostrar que o quadrilátero ABCD não é um paralelogramo.
Conteúdo usado: geometria vetorial em R^3.
Critério: num paralelogramo, vetores de lados opostos são iguais, ou seja
AB = DC e BC = AD

Passo 2

Calcular AB e DC.
AB = B - A = (-2-0,;3-(-1),;5-2) = (-2,,4,,3).
DC = C - D = (4-2,;6-0,;2-1) = (2,,6,,1).

Passo 3

Calcular BC e AD.
BC = C - B = (4-(-2),;6-3,;2-5) = (6,,3,,-3).
AD = D - A = (2-0,;0-(-1),;1-2) = (2,,1,,-1).

Passo 4

Para ser paralelogramo precisaríamos
AB = DC e BC = AD.
Mas vemos que
AB=(-2,4,3)neq(2,6,1)=DC,
logo já falha o primeiro requisito (e o segundo também não bate).
Portanto ABCD não é um paralelogramo.

Resposta

O quadrilátero ABCD não é um paralelogramo, pois ABneqDC.

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