Use os vetores e para os exercícios 3 ao 6 , e determine:
10 6. (10 pontos) a área do triângulo formado pelos vetores e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente encontrar a área do triângulo formado pelos vetores e . A matéria que estamos usando aqui é geometria vetorial, e vamos precisar calcular o produto vetorial dos dois vetores para achar a área.
Passo 2
Primeiro, lembra que a área de um triângulo formado por dois vetores é igual a metade da magnitude do produto vetorial desses vetores. A fórmula é:
Passo 3
Então, vamos calcular o produto vetorial . Usando a definição do produto vetorial:
Passo 4
Resolvendo o determinante:
u times v = i(1 cdot (-1) - (-2) cdot 1) - j(3 cdot (-1) - (-2) cdot 2) + k(3 cdot 1 - 1 cdot 2)
Simplificando:
u times v = i(-1 + 2) - j(-3 + 4) + k(3 - 2)
u times v = i(1) - j(1) + k(1)
Então,
u times v = (1, -1, 1)
Passo 5
Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor resultante:
| u times v | = raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3
Passo 6
Por fim, aplicamos a fórmula da área:
Área = 12 times raiz3 = raiz32 Á
Resposta
A área do triângulo formado pelos vetores u e v é raiz32 unidades de área.