Use os vetores u=(3,1,-2) e v=(2,1,-1) para os exercícios 3 ao 6 , e determine:
(10 pontos) um vetor simultaneamente ortogonal a u e v.

Passo 1

Então, o enunciado pede para a gente usar os vetores u = (3, 1, -2) e v = (2, 1, -1) para encontrar um vetor que seja ortogonal a ambos. A matéria envolvida aqui é a ortogonalidade de vetores e o produto vetorial. Vamos precisar calcular o produto vetorial para achar esse vetor que é perpendicular aos dois dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for igual a zero. Mas como queremos um vetor que seja ortogonal a ambos u e v, a forma mais prática de encontrar esse vetor é através do produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores iniciais.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial u times v. A fórmula para o produto vetorial de u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) é:
u times v = ( u2v3 - u3v2, , u3v1 - u1v3, , u1v2 - u2v1 )
Aplicando os valores:
u times v = ( 1 cdot (-1) - (-2) cdot 1, , (-2) cdot 2 - 3 cdot (-1), , 3 cdot 1 - 1 cdot 2 )
Vamos calcular cada componente:
  • Primeiro componente: 1 cdot (-1) - (-2) cdot 1 = -1 + 2 = 1
  • Segundo componente: (-2) cdot 2 - 3 cdot (-1) = -4 + 3 = -1
  • Terceiro componente: 3 cdot 1 - 1 cdot 2 = 3 - 2 = 1

Resposta

O vetor ortogonal a u e v é w = (1, -1, 1).

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