Exercício 4-1: Aplique o método de Newton-Raphson na determinação da raiz real positiva da função com 6 algarismo significativos corretos:
f(x)=e^-x-2 raizx no intervalor [0,1]. Explique porque não é conveniente utilizar como condição inicial x(0)= 0 . Compare a velocidade de convergência do método com a obtida pelo método da bisseção. Refaça o problema pela aplicação de uma forma “asseguradamente” convergente do método das substituições sucessivas.

Passo 1

O enunciado pede a raiz real positiva de
f(x)=e^-x-2raizx
no intervalo [0,1] com seis algarismos significativos corretos. Vamos usar três métodos: Newton–Raphson (comparo depois com bisseção) e, por fim, uma forma assegurada de substituição sucessiva.

Passo 2

Newton–Raphson baseia-se na iteração
xn+1=xn-f(xn)f'(xn)
Aqui
f'(x)=-e^-x-1raizx
Repare que em x=0 temos f'(0)to-infty, logo x0=0 não serve como chute inicial porque o denominador fica indefinido. Escolhemos, por exemplo, x0=0,5.

Passo 3

Aplicando Newton até lvert xn+1-xnrvert<5times10^-7 (critério para seis dígitos):
x0=0,5
f(0,5)=0,60653-1,41421=-0,80768, f'(0,5)=-0,60653-1,41421=-2,02074
x1=0,5--0,80768-2,02074=0,10007
x1to x2to x3to x4 dá, em sequência aproximada:
x1=0,10007, x2=0,16696, x3=0,17590, x4=0,175867ldots
No passo 4 já alcançamos
lvert x4-x3rvertapprox3times10^-7<5times10^-7,
portanto
x^*approx0,175867
com seis algarismos significativos.

Passo 4

Pelo método da bisseção, para garantir erro <=5times10^-7 em [0,1] precisamos
12^N<=5times10^-7Longrightarrow N>=log2!l(2times10^6r)approx21
Se refinarmos o intervalo inicial para [0,2^-1,0,2] (onde a raiz realmente está), o número cai para
N>=log2!l(0,1/5times10^-7r)approx18
Logo bisseção leva cerca de 18 iterações, bem mais que as 4 iterações de Newton.

Passo 5

Para substituição sucessiva escrevemos
e^-x=2raizxLongrightarrow e^-2x=4xLongrightarrow x=14e^-2x
Definimos
g(x)=14e^-2x, g'(x)=-tfrac12e^-2x,
e em [0,1] vale lvert g'(x)rvert<=tfrac12<1, garantindo convergência linear. Com x0=0,1 e critério lvert xn+1-xnrvert<5times10^-7 obtemos em cerca de 8 iterações
x8approx0,175867

Passo 6

Comparação de número de iterações:
Newton–Raphson approx 4 passos (convergência quadrática),
substituição approx 8 passos (convergência linear com fator approx 0,5),
bisseção approx 18 passos (convergência linear com fator 0,5 puro).

Resposta

A raiz positiva com seis algarismos significativos é
x^*approx0,175867
Newton–Raphson ( 4 iterações) é bem mais rápido que bisseção ( approx 18), e a substituição sucessiva ( 8 iterações) converge sempre mas mais devagar que Newton.

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