Exercício 4-1: Aplique o método de Newton-Raphson na determinação da raiz real positiva da função com 6 algarismo significativos corretos:
no intervalor [0,1]. Explique porque não é conveniente utilizar como condição inicial
0 . Compare a velocidade de convergência do método com a obtida pelo método da bisseção. Refaça o problema pela aplicação de uma forma “asseguradamente” convergente do método das substituições sucessivas.
Passo 1
O enunciado pede a raiz real positiva de
no intervalo
com seis algarismos significativos corretos. Vamos usar três métodos: Newton–Raphson (comparo depois com bisseção) e, por fim, uma forma assegurada de substituição sucessiva.
Passo 2
Newton–Raphson baseia-se na iteração
Aqui
Repare que em
temos
, logo
não serve como chute inicial porque o denominador fica indefinido. Escolhemos, por exemplo,
.
Passo 3
Aplicando Newton até
(critério para seis dígitos):
No passo
já alcançamos
,
portanto
portanto
com seis algarismos significativos.
Passo 4
Pelo método da bisseção, para garantir erro
em
precisamos
Se refinarmos o intervalo inicial para
(onde a raiz realmente está), o número cai para
Logo bisseção leva cerca de
iterações, bem mais que as
iterações de Newton.
Passo 5
Para substituição sucessiva escrevemos
Definimos
e em
vale
, garantindo convergência linear. Com
e critério
obtemos em cerca de
iterações
Passo 6
Comparação de número de iterações:
Newton–Raphson passos (convergência quadrática),
substituição passos (convergência linear com fator
),
bisseção passos (convergência linear com fator
puro).
Newton–Raphson
substituição
bisseção
Resposta
A raiz positiva com seis algarismos significativos é
Newton–Raphson (
iterações) é bem mais rápido que bisseção (
), e a substituição sucessiva (
iterações) converge sempre mas mais devagar que Newton.