Em cada caso esboce o conjunto
do plano
e determine sua fronteira. Classifique
em: aberto, fechado, limitado, compacto.
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
Pede-se:
- Esboçar geometricamente
no plano. - Determinar a fronteira (bordo) de
. - Classificar
quanto a: aberto, fechado, limitado, compacto.
Informações importantes que temos do enunciado:
- A curva de referência é
(o gráfico da função ). -
contém exatamente os pontos cujo é estritamente maior que (ou seja, “acima” da curva), e não contém a curva porque a desigualdade é estrita.
Passo 2
Esboço intuitivo de
.
Como desenhar:
- Primeiro trace o gráfico da função
: é uma cúbica ímpar com ponto de inflexão na origem, que cresce para à medida que e decresce para quando . - Depois, sombreie a região estritamente acima dessa curva (todos os pontos que têm coordenada
maior que o valor correspondente). Não sombreie a própria curva, pois não está incluída em .
Descrição do esboço: região aberta que fica acima do traço da cúbica
, sem incluir a linha curva.
Passo 3
Definições úteis (em linguagem simples) que vamos usar.
- Fronteira
de um conjunto : pontos tal que qualquer bola centrada neles intersecta tanto quanto o complemento de . Em outras palavras, são pontos onde arbitrariamente perto há pontos dentro e fora de . - Conjunto aberto: todo ponto do conjunto tem alguma bola inteira contida no conjunto.
- Conjunto fechado: contém todos os seus pontos de fronteira (equivalente a: o complemento é aberto, ou a função que define o conjunto tem pré-imagem fechada quando apropriado).
- Limitado: existe uma bola de raio finito que contém todo o conjunto.
- Compacto em
: equivalente a ser fechado e limitado (Teorema de Heine–Borel).
Vou usar esses conceitos para provar cada propriedade de
.
Passo 4
Provar que
é aberto.
Escolha um ponto arbitrário
. Então por definição temos
. Defina a diferença positiva
Considere a função contínua
. Como
e
é contínua (polinomial), existe um raio
tal que para todo
com
vale
Isso implica, para tais
,
ou seja,
e portanto
. Logo toda bola aberta centrada em
de raio
está contida em
. Como
foi arbitrário, todos os pontos de
são pontos interiores:
é aberto.
Explicando em palavras mais simples: se um ponto está estritamente acima da cúbica, há uma pequena bola em torno dele que ainda fica acima da cúbica, então ele é interior.
Passo 5
Identificar candidatos a fronteira: a curva
.
- Mostrar que cada ponto da curva é ponto de fronteira.
Seja
com
. Tome qualquer raio
. A bola aberta
contém pontos de forma explícita:
- O ponto
com pertence a e tem segunda coordenada , logo está em . - O ponto
com pertence a e tem segunda coordenada , logo está no complemento de .
Assim qualquer bola centrada emintersecta e o complemento de . Portanto é ponto de fronteira. Logo a curva está contida em .
- Mostrar que não há outros pontos na fronteira.
Se
não está na curva, então ou
ou
.
- Se
então, pelo passo anterior sobre abertura, existe uma bola inteira contida em . Logo não pode ser ponto de fronteira (pois não há interseção da bola com o complemento). - Se
então está estritamente abaixo da cúbica; de modo análogo, existe uma pequena bola inteira contida no complemento de . Assim também não é ponto de fronteira.
Portanto todos os pontos de
pertencem à curva
. Juntando com (1), conclui-se
Passo 6
Verificação se
é fechado.
Um conjunto é fechado se contém sua fronteira. Aqui
, mas por definição
não contém pontos com
(a desigualdade é estrita). Portanto
não contém sua fronteira e assim
não é fechado.
Observação alternativa (usando continuidade): o complemento de
é
, que é pré-imagem do intervalo
pela função contínua
, logo o complemento é fechado e
é aberto (o que já vimos); isto também confirma que
não é fechado.
Passo 7
Verificação se
é limitado.
Para mostrar que
é não limitdo, basta apresentar pontos de
com norma arbitrariamente grande. Por exemplo, para qualquer
escolha o ponto
. Temos
, logo
. Como
pode ser arbitrário, não existe bola de raio finito que contenha todo
. Portanto
não é limitado.
Outra forma: a curva
vai a
e
quando
; a região acima também se estende indefinidamente em
e
.
Passo 8
Verificação se
é compacto.
Em
, compacto
fechado e limitado. Já mostramos que
não é fechado e nem limitado, portanto
não é compacto.
Resposta
Esboço: região aberta do plano estritamente acima da curva
(a curva não está incluída).
Fronteira: .
Aberto: sim.
Fechado: não.
Limitado: não.
Compacto: não.
Fronteira:
Aberto: sim.
Fechado: não.
Limitado: não.
Compacto: não.