Em cada caso esboce o conjunto X do plano \mathbb{R}^{2} e determine sua fronteira. Classifique X em: aberto, fechado, limitado, compacto.
X=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{3}<y\right\}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
X=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{3}<y\right\}.
Pede-se:
  • Esboçar geometricamente X no plano.
  • Determinar a fronteira (bordo) de X.
  • Classificar X quanto a: aberto, fechado, limitado, compacto.
Informações importantes que temos do enunciado:
  • A curva de referência é \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y=x^3\} (o gráfico da função x\mapsto x^3).
  • X contém exatamente os pontos cujo y é estritamente maior que x^3 (ou seja, “acima” da curva), e não contém a curva porque a desigualdade é estrita.

Passo 2

Esboço intuitivo de X.
Como desenhar:
  • Primeiro trace o gráfico da função y=x^3: é uma cúbica ímpar com ponto de inflexão na origem, que cresce para +\infty à medida que x\to+\infty e decresce para -\infty quando x\to-\infty.
  • Depois, sombreie a região estritamente acima dessa curva (todos os pontos que têm coordenada y maior que o valor x^3 correspondente). Não sombreie a própria curva, pois não está incluída em X.
Descrição do esboço: região aberta que fica acima do traço da cúbica y=x^3, sem incluir a linha curva.

Passo 3

Definições úteis (em linguagem simples) que vamos usar.
  • Fronteira \partial A de um conjunto A: pontos tal que qualquer bola centrada neles intersecta tanto A quanto o complemento de A. Em outras palavras, são pontos onde arbitrariamente perto há pontos dentro e fora de A.
  • Conjunto aberto: todo ponto do conjunto tem alguma bola inteira contida no conjunto.
  • Conjunto fechado: contém todos os seus pontos de fronteira (equivalente a: o complemento é aberto, ou a função que define o conjunto tem pré-imagem fechada quando apropriado).
  • Limitado: existe uma bola de raio finito que contém todo o conjunto.
  • Compacto em \mathbb{R}^2: equivalente a ser fechado e limitado (Teorema de Heine–Borel).
Vou usar esses conceitos para provar cada propriedade de X.

Passo 4

Provar que X é aberto.
Escolha um ponto arbitrário (a,b)\in X. Então por definição temos b>a^3. Defina a diferença positiva
\delta:=b-a^3>0.
Considere a função contínua h(x,y)=y-x^3. Como h(a,b)=\delta>0 e h é contínua (polinomial), existe um raio r>0 tal que para todo (x,y) com \|(x,y)-(a,b)\|<r vale
|h(x,y)-h(a,b)|<\frac{\delta}{2}.
Isso implica, para tais (x,y),
h(x,y)>h(a,b)-\frac{\delta}{2}=\frac{\delta}{2}>0,
ou seja, y-x^3>0 e portanto x^3<y. Logo toda bola aberta centrada em (a,b) de raio r está contida em X. Como (a,b) foi arbitrário, todos os pontos de X são pontos interiores: X é aberto.
Explicando em palavras mais simples: se um ponto está estritamente acima da cúbica, há uma pequena bola em torno dele que ainda fica acima da cúbica, então ele é interior.

Passo 5

Identificar candidatos a fronteira: a curva \{(x,y):y=x^3\}.
  1. Mostrar que cada ponto da curva é ponto de fronteira.
Seja (a,b) com b=a^3. Tome qualquer raio r>0. A bola aberta B_r(a,b) contém pontos de forma explícita:
  • O ponto (a, b+\varepsilon) com 0<\varepsilon<r pertence a B_r(a,b) e tem segunda coordenada b+\varepsilon>a^3, logo está em X.
  • O ponto (a, b-\varepsilon) com 0<\varepsilon<r pertence a B_r(a,b) e tem segunda coordenada b-\varepsilon<a^3, logo está no complemento de X.
    Assim qualquer bola centrada em (a,b) intersecta X e o complemento de X. Portanto (a,b) é ponto de fronteira. Logo a curva \{(x,y):y=x^3\} está contida em \partial X.
  1. Mostrar que não há outros pontos na fronteira.
Se (a,b) não está na curva, então ou b>a^3 ou b<a^3.
  • Se b>a^3 então, pelo passo anterior sobre abertura, existe uma bola inteira contida em X. Logo (a,b) não pode ser ponto de fronteira (pois não há interseção da bola com o complemento).
  • Se b<a^3 então (a,b) está estritamente abaixo da cúbica; de modo análogo, existe uma pequena bola inteira contida no complemento de X. Assim (a,b) também não é ponto de fronteira.
Portanto todos os pontos de \partial X pertencem à curva \{(x,y):y=x^3\}. Juntando com (1), conclui-se
\partial X=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y=x^3\}.

Passo 6

Verificação se X é fechado.
Um conjunto é fechado se contém sua fronteira. Aqui \partial X=\{(x,y)\mid y=x^3\}, mas por definição X não contém pontos com y=x^3 (a desigualdade é estrita). Portanto X não contém sua fronteira e assim X não é fechado.
Observação alternativa (usando continuidade): o complemento de X é \{(x,y)\mid y\le x^3\}, que é pré-imagem do intervalo (-\infty,0] pela função contínua h(x,y)=y-x^3, logo o complemento é fechado e X é aberto (o que já vimos); isto também confirma que X não é fechado.

Passo 7

Verificação se X é limitado.
Para mostrar que X é não limitdo, basta apresentar pontos de X com norma arbitrariamente grande. Por exemplo, para qualquer R>0 escolha o ponto (0,R). Temos 0^3=0<R, logo (0,R)\in X. Como R pode ser arbitrário, não existe bola de raio finito que contenha todo X. Portanto X não é limitado.
Outra forma: a curva y=x^3 vai a +\infty e -\infty quando |x|\to\infty; a região acima também se estende indefinidamente em x e y.

Passo 8

Verificação se X é compacto.
Em \mathbb{R}^2, compacto \iff fechado e limitado. Já mostramos que X não é fechado e nem limitado, portanto X não é compacto.

Resposta

Esboço: região aberta do plano estritamente acima da curva y=x^3 (a curva não está incluída).
Fronteira: \partial X=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y=x^3\}.
Aberto: sim.
Fechado: não.
Limitado: não.
Compacto: não.

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