Em cada caso esboce o conjunto X do plano \mathbb{R}^{2} e determine sua fronteira. Classifique X em: aberto, fechado, limitado, compacto.
X=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ;\left(x^{2}+y^{2}-1\right) y<0\right\}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
X=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid (x^2+y^2-1)\,y<0\}.
O que se pede:
  • Esboçar (descrever) geometricamente o conjunto X.
  • Determinar a fronteira (fecho menos interior) de X.
  • Classificar X quanto a: aberto, fechado, limitado e compacto.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão envolve o produto de duas quantidades: x^2+y^2-1 (que é r^2-1, com r^2=x^2+y^2) e y.
  • A desigualdade é estrita: (x^2+y^2-1)\,y<0, ou seja, os fatores têm sinais opostos.

Passo 2

Transformar a condição em casos claros. A desigualdade (x^2+y^2-1)\,y<0 ocorre precisamente quando os dois fatores têm sinais opostos. Assim X é a união de dois subconjuntos disjuntos:
X = A\cup B,
onde
A=\{(x,y)\mid x^2+y^2<1,\; y>0\} \qquad\text{e}\qquad B=\{(x,y)\mid x^2+y^2>1,\; y<0\}.
Explicação: se x^2+y^2-1<0 (ou seja r<1) então para o produto ser negativo precisamos de y>0 — isso dá A. Se x^2+y^2-1>0 (ou seja r>1) então precisamos de y<0 — isso dá B. Não entram pontos com r=1 nem com y=0 porque a desigualdade é estrita.

Passo 3

Esboço geométrico (descrição visual):
  • A é o interior do disco unitário cortado pela meia-plano superior: é a parte do disco \{x^2+y^2<1\} que fica estritamente acima do eixo x ( y>0). É um “meio-disco aberto” na parte superior, sem a fronteira circular nem a linha y=0.
  • B é a parte exterior ao círculo unitário que fica estritamente abaixo do eixo x ( y<0). Ou seja, tudo que está fora do círculo \{x^2+y^2>1\} e está com y<0. É uma região não limitada que se estende para o infinito para baixo e para os lados, mas não inclui a circunferência nem o eixo x.
    Portanto X é a união desses dois blocos: o meio-disco superior interno e a região exterior inferior.

Passo 4

Mostrar que X é aberto.
Motivo: as condições x^2+y^2<1 e y>0 são desigualdades estritas envolvendo funções contínuas ( (x,y)\mapsto x^2+y^2 e (x,y)\mapsto y); o conjunto definido por desigualdades estritas de funções contínuas é aberto. Formalmente, A e B são abertos no \mathbb{R}^2 (cada uma é a interseção de pré-imagens de intervalos abertos por funções contínuas), e a união de abertos é aberta. Assim X=A\cup B é aberto.

Passo 5

Encontrar o fecho (fecho = closure) e a fronteira. Primeiro as closures de A e B.
  • Fecho de A. Qualquer ponto com x^2+y^2\le 1 e y\ge 0 é limite de pontos de A: se y>0 e x^2+y^2=1 aproximam-se radiais internos; se y=0 e x^2+y^2<1 aproximam-se por pontos com y>0; se x^2+y^2=1 e y=0 (pontos onde a circunferência encontra o eixo) também são limites de A. Logo
\overline{A}=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1,\; y\ge 0\}.
  • Fecho de B. De modo análogo,
\overline{B}=\{(x,y)\mid x^2+y^2\ge 1,\; y\le 0\}.
Como \overline{X}=\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B}, temos
\overline{X}=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1,\; y\ge 0\}\\ \cup\\ \{(x,y)\mid x^2+y^2\ge 1,\; y\le 0\}.

Passo 6

Determinar a fronteira \partial X. Como já vimos X é aberto, a fronteira é \partial X=\overline{X}\setminus X. Vamos simplificar essa expressão. Os pontos que ficam em \overline{X} mas não em X são exatamente aqueles que fazem com que algum dos fatores seja zero, porque X exigia produto estritamente negativo. Ou seja, são os pontos que satisfazem
(x^2+y^2-1)\,y=0.
Esse conjunto se desmembra em duas partes:
  • A circunferência unitária \{(x,y)\mid x^2+y^2=1\}, porque aí x^2+y^2-1=0.
  • O eixo x inteiro \{(x,y)\mid y=0\}, porque aí y=0.
Prova direta de que toda essa união está na fronteira: pegar um ponto em \{x^2+y^2=1\}. Qualquer vizinhança contém pontos com r<1 e r>1; dependendo do sinal de y essa vizinhança intersecta X (por exemplo se a vizinhança tem pontos com y>0, r<1 então estão em A) e intersecta o complemento (por exemplo existe ponto com y>0,r>1 que não pertence a X). Portanto todo ponto da circunferência é limite tanto de X quanto do complemento. Análogo para pontos do eixo y=0: qualquer bola centrada em um ponto com y=0 contém pontos com y>0 e com y<0; se além disso o raio é pequeno mantém-se dentro/fora do disco conforme necessário, garantindo interseção com X e com o complemento. Assim todos esses pontos estão na fronteira.
Não há outros pontos na fronteira porque:
  • Pontos com x^2+y^2<1 e y>0 pertencem a A, que é aberto, logo são pontos interiores de X (não fronteira).
  • Pontos com x^2+y^2>1 e y<0 pertencem a B, também interior de X.
  • Pontos com y>0 e x^2+y^2>1 (região exterior superior) ficam no complemento e têm uma vizinhança inteira no complemento — portanto não são fronteira de X.
  • Pontos com y<0 e x^2+y^2<1 (interior inferior do disco) ficam no complemento e também não são fronteira.
Assim a fronteira é exatamente a união descrita:
\partial X=\{(x,y)\mid x^2+y^2=1\}\\ \cup\\ \{(x,y)\mid y=0\}.

Passo 7

Classificação quanto a limitado e compacto.
  • Limitado? Não. A componente B contém pontos com |x|\to\infty (por exemplo tomar y=-1 e x arbitrariamente grande dá x^2+y^2>1 e y<0), então X é não limitado (unbounded).
  • Fechado? Não. X não contém sua fronteira (por exemplo pontos com y=0 ou x^2+y^2=1 não pertencem a X porque a desigualdade é estrita), então X não é fechado.
  • Aberto? Sim, como mostrei no Passo 4.
  • Compacto? Não. Para ser compacto em \mathbb{R}^2 é necessário ser fechado e limitado; X falha em ambos, logo não é compacto.

Resposta

\partial X=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2=1\}\\ \cup\\ \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y=0\}
X é aberto.
X não é fechado.
X não é limitado.
X não é compacto.

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