Em cada caso esboce o conjunto X do plano \mathbb{R}^{2} e determine sua fronteira. Classifique X em: aberto, fechado, limitado, compacto. X=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ;\left(x^{2}+y^{2}-1\right) y<0\right\}.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
X=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid (x^2+y^2-1)\,y<0\}.
O que se pede:
Esboçar (descrever) geometricamente o conjunto X.
Determinar a fronteira (fecho menos interior) de X.
Classificar X quanto a: aberto, fechado, limitado e compacto.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A expressão envolve o produto de duas quantidades: x^2+y^2-1 (que é r^2-1, com r^2=x^2+y^2) e y.
A desigualdade é estrita: (x^2+y^2-1)\,y<0, ou seja, os fatores têm sinais opostos.
Passo 2
Transformar a condição em casos claros. A desigualdade (x^2+y^2-1)\,y<0 ocorre precisamente quando os dois fatores têm sinais opostos. Assim X é a união de dois subconjuntos disjuntos:
Explicação: se x^2+y^2-1<0 (ou seja r<1) então para o produto ser negativo precisamos de y>0 — isso dá A. Se x^2+y^2-1>0 (ou seja r>1) então precisamos de y<0 — isso dá B. Não entram pontos com r=1 nem com y=0 porque a desigualdade é estrita.
Passo 3
Esboço geométrico (descrição visual):
A é o interior do disco unitário cortado pela meia-plano superior: é a parte do disco \{x^2+y^2<1\} que fica estritamente acima do eixo x (y>0). É um “meio-disco aberto” na parte superior, sem a fronteira circular nem a linha y=0.
B é a parte exterior ao círculo unitário que fica estritamente abaixo do eixo x (y<0). Ou seja, tudo que está fora do círculo \{x^2+y^2>1\} e está com y<0. É uma região não limitada que se estende para o infinito para baixo e para os lados, mas não inclui a circunferência nem o eixo x.
Portanto X é a união desses dois blocos: o meio-disco superior interno e a região exterior inferior.
Passo 4
Mostrar que X é aberto.
Motivo: as condições x^2+y^2<1 e y>0 são desigualdades estritas envolvendo funções contínuas ((x,y)\mapsto x^2+y^2 e (x,y)\mapsto y); o conjunto definido por desigualdades estritas de funções contínuas é aberto. Formalmente, A e B são abertos no \mathbb{R}^2 (cada uma é a interseção de pré-imagens de intervalos abertos por funções contínuas), e a união de abertos é aberta. Assim X=A\cup B é aberto.
Passo 5
Encontrar o fecho (fecho = closure) e a fronteira. Primeiro as closures de A e B.
Fecho de A. Qualquer ponto com x^2+y^2\le 1 e y\ge 0 é limite de pontos de A: se y>0 e x^2+y^2=1 aproximam-se radiais internos; se y=0 e x^2+y^2<1 aproximam-se por pontos com y>0; se x^2+y^2=1 e y=0 (pontos onde a circunferência encontra o eixo) também são limites de A. Logo
Determinar a fronteira \partial X. Como já vimos X é aberto, a fronteira é \partial X=\overline{X}\setminus X. Vamos simplificar essa expressão. Os pontos que ficam em \overline{X} mas não em X são exatamente aqueles que fazem com que algum dos fatores seja zero, porque X exigia produto estritamente negativo. Ou seja, são os pontos que satisfazem
(x^2+y^2-1)\,y=0.
Esse conjunto se desmembra em duas partes:
A circunferência unitária \{(x,y)\mid x^2+y^2=1\}, porque aí x^2+y^2-1=0.
O eixo x inteiro \{(x,y)\mid y=0\}, porque aí y=0.
Prova direta de que toda essa união está na fronteira: pegar um ponto em \{x^2+y^2=1\}. Qualquer vizinhança contém pontos com r<1 e r>1; dependendo do sinal de y essa vizinhança intersecta X (por exemplo se a vizinhança tem pontos com y>0, r<1 então estão em A) e intersecta o complemento (por exemplo existe ponto com y>0,r>1 que não pertence a X). Portanto todo ponto da circunferência é limite tanto de X quanto do complemento. Análogo para pontos do eixo y=0: qualquer bola centrada em um ponto com y=0 contém pontos com y>0 e com y<0; se além disso o raio é pequeno mantém-se dentro/fora do disco conforme necessário, garantindo interseção com X e com o complemento. Assim todos esses pontos estão na fronteira.
Não há outros pontos na fronteira porque:
Pontos com x^2+y^2<1 e y>0 pertencem a A, que é aberto, logo são pontos interiores de X (não fronteira).
Pontos com x^2+y^2>1 e y<0 pertencem a B, também interior de X.
Pontos com y>0 e x^2+y^2>1 (região exterior superior) ficam no complemento e têm uma vizinhança inteira no complemento — portanto não são fronteira de X.
Pontos com y<0 e x^2+y^2<1 (interior inferior do disco) ficam no complemento e também não são fronteira.
Limitado? Não. A componente B contém pontos com |x|\to\infty (por exemplo tomar y=-1 e x arbitrariamente grande dá x^2+y^2>1 e y<0), então X é não limitado (unbounded).
Fechado? Não. X não contém sua fronteira (por exemplo pontos com y=0 ou x^2+y^2=1 não pertencem a X porque a desigualdade é estrita), então X não é fechado.
Aberto? Sim, como mostrei no Passo 4.
Compacto? Não. Para ser compacto em \mathbb{R}^2 é necessário ser fechado e limitado; X falha em ambos, logo não é compacto.