(15 pontos) Sejam A=\left[\begin{array}{ll}3 & 6 \\\\ 5 & 0\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll}0 & 6 \\\\ 1 & 4 \\\\ 0 & 0\end{array}\right] e C=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 3 \\\\ 1\end{array}\right]. Encontre M=A B^{t} C.

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes A, B e C abaixo e pede M = A\,B^{t}C. O conteúdo aqui é transposição de matriz e multiplicação de matrizes em sequência: primeiro vamos encontrar B^{t}, depois calcular A\,B^{t} e por fim multiplicar por C.

Passo 2

Transpondo B, que é 3\times2, obtemos a matriz 2\times3:
B = \begin{pmatrix} 0 & 6\\\\ 1 & 4\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad B^{t} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 6 & 4 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora multiplicamos A (que é 2\times2) por B^{t} (que é 2\times3), resultando numa matriz 2\times3:
A = \begin{pmatrix}3 & 6\\\ 5 & 0\end{pmatrix}, \quad B^{t} = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\\ 6 & 4 & 0\end{pmatrix}
A\,B^{t} = \begin{pmatrix} 3\cdot0 + 6\cdot6 & 3\cdot1 + 6\cdot4 & 3\cdot0 + 6\cdot0\\\\ 5\cdot0 + 0\cdot6 & 5\cdot1 + 0\cdot4 & 5\cdot0 + 0\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 36 & 27 & 0\\\\ 0 & 5 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Por fim multiplicamos \bigl(A\,B^{t}\bigr) (que é 2\times3) pelo vetor C (que é 3\times1):
C = \begin{pmatrix}0\\\ 3\\\ 1\end{pmatrix}, \quad A\,B^{t} = \begin{pmatrix}36 & 27 & 0\\\ 0 & 5 & 0\end{pmatrix}
M = \begin{pmatrix} 36 & 27 & 0\\\\ 0 & 5 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\\ 3\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 36\cdot0 + 27\cdot3 + 0\cdot1\\\\ 0\cdot0 + 5\cdot3 + 0\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}81\\\ 15\end{pmatrix}.

Resposta

M = \begin{pmatrix}81\\\ 15\end{pmatrix}.

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