Considere as matrizes A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\ 3 & 1 & 5 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] e C=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\\\ 2 & 6 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right].
( 20 pontos) Encontre A^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa de
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[6pt] 3 & 1 & 5 \\[6pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo é o cálculo de inversa de matriz, aqui simplificado pelo fato de A ser triangular com 1 na diagonal, logo \det(A)=1\neq0 e a inversa existe. Vamos obter A^{-1} resolvendo A X = I_3 coluna a coluna.]

Passo 2

Denotemos
X = A^{-1} = \bigl[x_{ij}\bigr]_{i,j=1}^3,
e imponhamos
A\,X = I_3.
Isso equivale a resolver, para cada j\in\{1,2,3\}, o sistema
A\,(x_{1j},x_{2j},x_{3j})^T = e_j,
onde e_j é o j-ésimo vetor canônico de \mathbb{R}^3.

Passo 3

Para j=1 (coluna 1), queremos
A\begin{pmatrix}x_{11}\x_{21}\x_{31}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira e da terceira linhas de A vêm
x_{11}=1, \quad x_{31}=0.
Da segunda linha
3\,x_{11}+1\cdot x_{21}+5\,x_{31}=0 \quad\Longrightarrow\quad 3\cdot1 + x_{21} +5\cdot0 = 0 \;\Longrightarrow\; x_{21}=-3.
Para j=2 (coluna 2), o sistema
A\begin{pmatrix}x_{12}\x_{22}\x_{32}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}
x_{12}=0, \quad x_{32}=0, \quad 3\,x_{12}+x_{22}+5\,x_{32}=1 \;\Longrightarrow\; x_{22}=1.
Para j=3 (coluna 3), o sistema
A\begin{pmatrix}x_{13}\x_{23}\x_{33}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}
x_{13}=0, \quad x_{33}=1, \quad 3\,x_{13}+x_{23}+5\,x_{33}=0 \;\Longrightarrow\; x_{23}=-5.

Passo 4

Reunindo todos os x_{ij}, a matriz X fica
X = A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[4pt] -3 & 1 & -5 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[4pt] -3 & 1 & -5 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

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