Calcule, caso existam, os limites a seguir.
\lim _{x \rightarrow 0}\left|4 x^{5}-5 x\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to0}\bigl|4x^{5}-5x\bigr|.
O conteúdo é limite de função envolvendo polinômio e valor absoluto. Vamos usar duas ideias: continuidade de polinômio e valor absoluto, e fatoração com desigualdade triangular.

Passo 2

Como g(x)=4x^{5}-5x é um polinômio, ele é contínuo em todo \mathbb{R}. Além disso, h(u)=|u| é contínua em todo u. Logo, a composição h(g(x))=|4x^{5}-5x| é contínua em x=0 e
\lim_{x\to0}|4x^{5}-5x| = \bigl|\lim_{x\to0}(4x^{5}-5x)\bigr| = |4\cdot0^{5}-5\cdot0| = |0| =0.

Passo 3

Para confirmar, podemos também usar fatoração e desigualdade triangular.
Observe que
4x^{5}-5x = x\,(4x^{4}-5),
então
\bigl|4x^{5}-5x\bigr| = |x|\;|4x^{4}-5| \le |x|\bigl(|4x^{4}|+5\bigr) =4|x|^{5}+5|x|.
Como \lim_{x\to0}4|x|^{5}=0 e \lim_{x\to0}5|x|=0, pelo Teorema do Confronto segue que \lim_{x\to0}|4x^{5}-5x|=0.

Resposta

0

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