Determine os vetores tangente e normal unitários \mathrm{T}(\mathrm{t}) e \mathrm{N}(\mathrm{t}). Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.
r(t)=t^{2} \vec{i}+(\sin t-t \cos t) \vec{j}+(\cos t+t \sin t) \vec{k}

Passo 1

Resumindo: temos a curva
r(t)=\bigl(t^{2},\;\sin t - t\cos t,\;\cos t + t\sin t\bigr)
e queremos os versores tangente \mathrm{T}(t) e normal \mathrm{N}(t), além da curvatura \kappa(t). Vamos usar estes passos:
  1. Calcular r'(t).
  2. Encontrar \|r'(t)\|.
  3. Definir \mathrm{T}(t)=r'(t)/\|r'(t)\|.
  4. Calcular \mathrm{T}'(t) e definir \mathrm{N}(t)=\mathrm{T}'(t)/\|\mathrm{T}'(t)\|.
  5. Usar a Fórmula 9 da curvatura, \displaystyle \kappa(t)=\frac{\|\mathrm{T}'(t)\|}{\|r'(t)\|}.

Passo 2

Derivando componente a componente,
r'(t) =\bigl(2t,\;\tfrac{d}{dt}(\sin t - t\cos t),\;\tfrac{d}{dt}(\cos t + t\sin t)\bigr) =\bigl(2t,\;t\sin t,\;t\cos t\bigr).

Passo 3

A norma de r'(t) é
\|r'(t)\| =\sqrt{(2t)^2+(t\sin t)^2+(t\cos t)^2} =\sqrt{4t^2+t^2(\sin^2t+\cos^2t)} =\sqrt{5t^2} =\sqrt5\,|t|.

Passo 4

O versor tangente fica
\mathrm{T}(t) =\frac{r'(t)}{\|r'(t)\|} =\frac{1}{\sqrt5\,|t|} \bigl(2t,\;t\sin t,\;t\cos t\bigr) =\bigl(\tfrac{2}{\sqrt5}\,\sgn(t),\;\tfrac{\sin t}{\sqrt5}\,\sgn(t),\;\tfrac{\cos t}{\sqrt5}\,\sgn(t)\bigr).
Para simplificar, se considerarmos t>0, então
\mathrm{T}(t)=\bigl(\tfrac{2}{\sqrt5},\;\tfrac{\sin t}{\sqrt5},\;\tfrac{\cos t}{\sqrt5}\bigr).

Passo 5

Derivando \mathrm{T}(t) em t>0:
\mathrm{T}'(t) =\bigl(0,\;\tfrac{\cos t}{\sqrt5},\;-\tfrac{\sin t}{\sqrt5}\bigr), \qquad \|\mathrm{T}'(t)\|=\frac{1}{\sqrt5}.
Logo o versor normal é
\mathrm{N}(t) =\frac{\mathrm{T}'(t)}{\|\mathrm{T}'(t)\|} =\sqrt5\,\mathrm{T}'(t) =\bigl(0,\;\cos t,\;-\sin t\bigr).

Passo 6

Pela Fórmula 9, a curvatura vale
\kappa(t) =\frac{\|\mathrm{T}'(t)\|}{\|r'(t)\|} =\frac{\tfrac{1}{\sqrt5}}{\sqrt5\,t} =\frac{1}{5t} \quad(t>0).
Para t<0 trocamos t por |t| no denominador, dando \kappa(t)=1/(5|t|).

Resposta

\displaystyle \mathrm{T}(t)=\bigl(\tfrac{2}{\sqrt5},\,\tfrac{\sin t}{\sqrt5},\,\tfrac{\cos t}{\sqrt5}\bigr), \quad \mathrm{N}(t)=\bigl(0,\,\cos t,\,-\sin t\bigr), \quad \kappa(t)=\frac{1}{5t}\;(t>0).

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