Calcule as integrais a seguir.
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{tg}^{3} t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \tan^{3}t\,dt.
O conteúdo que vamos usar é a técnica de separar \tan^{3}t em termos de \operatorname{sec}^{2}t e \tan t para facilitar a primitivação, e depois verificar a convergência no ponto t=\tfrac{\pi}{2}.

Passo 2

Usamos a identidade
\tan^{2}t = \operatorname{sec}^{2}t - 1,
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\tan^{3}t = \tan t\;\tan^{2}t = \tan t\;(\operatorname{sec}^{2}t - 1) = \tan t\,\operatorname{sec}^{2}t \;-\;\tan t.
Assim a integral fica
\int \tan^{3}t\,dt = \int \tan t\,\operatorname{sec}^{2}t\,dt \;-\;\int \tan t\,dt.

Passo 3

Calcular cada parte:
  1. Para \displaystyle \int \tan t\,\operatorname{sec}^{2}t\,dt, faça u=\tan t, de onde du=\operatorname{sec}^{2}t\,dt. Então
\int \tan t\,\operatorname{sec}^{2}t\,dt = \int u\,du = \tfrac12\,u^{2} = \tfrac12\,\tan^{2}t.
  1. Para \displaystyle \int \tan t\,dt usamos a primitiva clássica
\int \tan t\,dt = -\ln\bigl|\cos t\bigr|.
Portanto uma antiderivada de \tan^{3}t é
F(t) = \tfrac12\,\tan^{2}t + \ln\bigl|\cos t\bigr| + C.

Passo 4

Como a integral é de 0 até \frac{\pi}{2}, temos que tratar o limite
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\tan^{3}t\,dt = \lim_{b\to\frac{\pi}{2}^{-}}\Bigl[F(b)-F(0)\Bigr].
Note que
F(0)=\tfrac12\tan^{2}0+\ln(\cos0)=0+0=0,
e perto de b=\tfrac{\pi}{2} escreva x=\tfrac{\pi}{2}-b\to0^{+}. Então
\tan^{2}b \sim \frac{1}{x^{2}} \quad\text{e}\quad \ln\bigl(\cos b\bigr)\sim \ln(x).
Daí
F(b)\sim \frac{1}{2\,x^{2}} + \ln(x),
que tende a +\infty quando x\to0.

Passo 5

Como o limite do valor da primitiva diverge para +\infty ao aproximar t de \tfrac{\pi}{2}, a integral imprópria não converge.

Resposta

A integral diverge para +\infty; ou seja,
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\tan^{3}t\,dt = +\infty.

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