(15,0 pontos) Utilize a teoria de Fourier (e o método de separação de variáveis) para obter a solução do problema abaixo (equação do calor barra finita)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para resolver a equação do calor em uma barra finita usando a Teoria de Fourier e o método de separação de variáveis. Basicamente, queremos descobrir como a temperatura na barra muda ao longo do tempo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais parciais, séries de Fourier e como separar as variáveis na equação para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o problema. A equação do calor dada é:
ut = c^2 uxx, 0 < x < L, t > 0
com as condições de contorno:
u(0, t) = -10, u(L, t) = 20
e a condição inicial:
u(x, 0) = x^2, 0 < x < L
Aqui, u(x, t) representa a temperatura na posição x e no tempo t . As subscritas ut e uxx indicam as derivadas parciais de u em relação ao tempo e ao espaço, respectivamente.
Passo 3
Para resolver isso, vamos dividir a solução u(x, t) em duas partes:
u(x, t) = v(x) + w(x, t)
onde v(x) é a solução estacionária (independente do tempo) que satisfaz as condições de contorno, e w(x, t) é a parte que depende do tempo e satisfaz condições homogêneas de contorno (ou seja, w(0, t) = w(L, t) = 0 ).
Primeiro, vamos encontrar v(x) .
Passo 4
Para encontrar v(x) , substituímos ut = 0 na equação do calor, já que v(x) é estacionária:
0 = c^2 v''(x)
Integrando duas vezes, obtemos:
v(x) = A x + B
Agora, aplicamos as condições de contorno para determinar A e B :
v(0) = -10 Rightarrow B = -10
v(L) = 20 Rightarrow A L -10 = 20 Rightarrow A = 30L
Então, a solução estacionária é:
v(x) = 30L x - 10
Passo 5
Agora, vamos considerar a parte w(x, t) da solução. Como u(x, t) = v(x) + w(x, t) , substituímos na equação do calor:
(v(x) + w(x, t))t = c^2 (v(x) + w(x, t))xx
Como v(x) é estacionária, vt = 0 , e sabemos que v''(x) é constante. Substituindo:
Para resolver a equação homogênea wt = c^2 wxx , usamos o método de separação de variáveis. Assumimos que w(x, t) = X(x)T(t) . Substituindo na equação:
X(x) T'(t) = c^2 X''(x) T(t)
Dividindo ambos os lados por X(x)T(t) :
T'(t)c^2 T(t) = X''(x)X(x) = -lambda
onde lambda é uma constante de separação. Isso nos leva a duas equações:
T'(t) + lambda c^2 T(t) = 0
X''(x) + lambda X(x) = 0
Passo 7
Resolvendo a equação para X(x) com as condições de contorno X(0) = X(L) = 0 , obtemos as soluções de valores próprios:
lambdan = ( n piL )^2, n = 1, 2, 3, dots
Xn(x) = sin( n pi xL )
E para T(t) :
Tn(t) = e^-c^2 lambdan t = e^-c^2 ( n piL )^2 t
Passo 8
A solução geral para w(x, t) é uma soma infinita das soluções separadas:
w(x, t) = sumn=1^infty Bn sin( n pi xL ) e^-c^2 ( n piL )^2 t
Os coeficientes Bn são determinados pela condição inicial w(x, 0) = x^2 - 30L x + 10 . Usamos a série de Fourier para isso:
Bn = 2L integral0^L ( x^2 - 30L x + 10 ) sin( n pi xL ) dx
Resposta
Então, juntando tudo, a solução da equação do calor é:
u(x, t) = 30L x - 10 + sumn=1^infty Bn sin( n pi xL ) e^-c^2 ( n piL )^2 t
onde os coeficientes Bn são dados por:
Bn = 2L integral0^L ( x^2 - 30L x + 10 ) sin( n pi xL ) dx