15.7 Sejam \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^{n} tais que
\begin{aligned} x & =\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right) \\\ y & =(1,1, \ldots, 1) \\\ \sum_{i=1}^{n} a_{i} & =1 \end{aligned}
Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, prove que
\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2} \geq \frac{1}{n}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a desigualdade de Cauchy–Schwarz no espaço \mathbb{R}^n, que se
x=(a_1,\dots,a_n), \quad y=(1,1,\dots,1), \quad \sum_{i=1}^n a_i = 1,
então
\sum_{i=1}^n a_i^2 \ge \frac1n.
O conteúdo principal aqui é a interpretação de produto interno e norma em \mathbb{R}^n e a aplicação da desigualdade de Cauchy–Schwarz:
|\langle x,y\rangle| \le \|x\|\,\|y\|.

Passo 2

Calculemos o produto interno \langle x,y\rangle. Por definição,
\langle x,y\rangle =\sum_{i=1}^n a_i\cdot1 =\sum_{i=1}^n a_i =1.

Passo 3

Agora calculamos as normas de x e de y:
\|x\| =\sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}, \qquad \|y\| =\sqrt{\sum_{i=1}^n 1^2} =\sqrt{n}.

Passo 4

Aplicando Cauchy–Schwarz:
|\langle x,y\rangle| \le \|x\|\,\|y\| \quad\Longrightarrow\quad 1 \le \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}\;\sqrt{n}.
Elevando ao quadrado,
1 \le n \sum_{i=1}^n a_i^2 \quad\Longrightarrow\quad \sum_{i=1}^n a_i^2 \ge \frac1n.

Resposta

\sum_{i=1}^n a_i^2 \ge \frac1n.

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