(15 puntos) Capacitores con dieléctricos. Un capacitor lleno de aire, con placas circulares paralelas de 5.00 pF , va a usarse en un circuito en el que estara sometido a potenciales de hasta 1.00 times 10^2 V. El campo eléctrico entre las placas no va a ser mayor de 1.00 times 10^2 N / C. Suponga que, como ingeniero, y conociendo que ha tenido clases de Fisica 2 en ICA, la empresa en que trabaja le asigna las siguientes tareas: a) diseñe el capacitor determinando las dimensiones fisicas y la separación que debe tener;

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem um capacitor de placas circulares paralelas com capacidade de 5,00 pF. Esse capacitor vai ser usado em um circuito que pode ter uma tensão de até 1,00 times 10^2 V (ou seja, 100 V). Além disso, o campo elétrico entre as placas não pode ser maior que 1,00 times 10^2 N/C (100 N/C).
Nosso trabalho aqui é projetar o capacitor, ou seja, descobrir quais devem ser as dimensões das placas (área) e a distância entre elas (separação) para que tudo funcione dentro desses limites. Para resolver isso, vamos usar algumas fórmulas básicas de capacitores de placas paralelas e entender como tensão, campo elétrico e capacidade estão relacionados.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a distância entre as placas ( d). Sabemos que o campo elétrico ( E) entre as placas de um capacitor é dado por:
E = Vd
Onde:
  • E é o campo elétrico,
  • V é a tensão,
  • d é a distância entre as placas.
Queremos que o campo elétrico não ultrapasse 1,00 times 10^2 N/C com uma tensão de até 1,00 times 10^2 V. Vamos rearranjar a fórmula para encontrar d:
d = VE = 1,00 times 10^2 V1,00 times 10^2 N/C = 1 m
Então, a distância entre as placas deve ser de 1 metro.

Passo 3

Agora que sabemos que d = 1 metro, vamos encontrar a área das placas ( A). A capacidade ( C) de um capacitor de placas paralelas é dada por:
C = epsilon0 Ad
Onde:
  • C é a capacidade,
  • epsilon0 é a permissividade do vácuo ( 8,85 times 10^-12 F/m),
  • A é a área das placas,
  • d é a distância entre as placas.
Vamos rearranjar para encontrar A:
A = C cdot depsilon0 = 5,00 times 10^-12 F times 1 m8,85 times 10^-12 F/m approx 0,566 m^2
Portanto, a área das placas deve ser de aproximadamente 0,566 metros quadrados.

Passo 4

Como as placas são circulares, vamos calcular o raio ( r) de cada placa a partir da área que encontramos. A área de um círculo é dada por:
A = pi r^2
Vamos resolver para r:
r = raizApi = raiz0,566 m^2pi approx 0,424 m
Então, o raio de cada placa deve ser de aproximadamente 0,424 metros (ou 42,4 centímetros).

Resposta

Para projetar o capacitor dentro dos limites especificados, as placas circulares devem ter um raio de aproximadamente 42,4 cm, a área de 0,566 m² cada, e a distância entre as placas deve ser de 1 metro.

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