(15 puntos) Capacitores con dieléctricos. Un capacitor lleno de aire, con placas circulares paralelas de 5.00 pF , va a usarse en un circuito en el que estara sometido a potenciales de hasta
. El campo eléctrico entre las placas no va a ser mayor de
. Suponga que, como ingeniero, y conociendo que ha tenido clases de Fisica 2 en ICA, la empresa en que trabaja le asigna las siguientes tareas: a) diseñe el capacitor determinando las dimensiones fisicas y la separación que debe tener; b) determine la carga máxima que pueden tener sus placas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre capacitores com dielétricos. A gente vai trabalhar com um capacitor de placas circulares paralelas, com capacitância de 5,00 pF. O capacitor vai ser usado em um circuito onde a tensão máxima aplicada será de
V, e o campo elétrico entre as placas não pode ser maior que
N/C. Vamos precisar usar conceitos de capacitância, campo elétrico e relações entre eles para determinar as dimensões físicas do capacitor e a carga máxima que as placas podem ter.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a separação
entre as placas do capacitor. Sabemos que o campo elétrico
entre as placas é dado por:
Onde:
-
é o campo elétrico, -
é a diferença de potencial (tensão), -
é a distância entre as placas.
Queremos que
não seja maior que
N/C e que
V. Então, podemos rearranjar a fórmula para encontrar
:
Então, a separação entre as placas deve ser de 1 metro. Parece grande, mas vamos seguir com os cálculos para ver.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a área
das placas. A capacitância de um capacitor de placas paralelas é dada por:
Onde:
-
é a capacitância, -
é a permissividade do vácuo ( ), -
é a área das placas, -
é a distância entre as placas.
Queremos
e já encontramos
. Vamos rearranjar a fórmula para encontrar
:
Passo 4
Como as placas são circulares, podemos relacionar a área
com o raio
usando a fórmula da área do círculo:
Vamos resolver para
:
O diâmetro
das placas é então:
Então, as placas devem ter aproximadamente 0,848 metros de diâmetro e estar separadas por 1 metro.
Passo 5
Agora, vamos determinar a carga máxima
que as placas podem ter. A relação entre carga, capacitância e tensão é dada por:
Onde:
-
é a carga, -
é a capacitância, -
é a tensão.
Usando
e
:
Resposta
a) As placas do capacitor devem ter um diâmetro de aproximadamente 0,848 metros e estar separadas por 1 metro.
b) A carga máxima que as placas podem ter é de
coulombs.