(15 puntos) Capacitores con dieléctricos. Un capacitor lleno de aire, con placas circulares paralelas de 5.00 pF , va a usarse en un circuito en el que estara sometido a potenciales de hasta 1.00 times 10^2 V. El campo eléctrico entre las placas no va a ser mayor de 1.00 times 10^2 N / C. Suponga que, como ingeniero, y conociendo que ha tenido clases de Fisica 2 en ICA, la empresa en que trabaja le asigna las siguientes tareas: a) diseñe el capacitor determinando las dimensiones fisicas y la separación que debe tener; b) determine la carga máxima que pueden tener sus placas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre capacitores com dielétricos. A gente vai trabalhar com um capacitor de placas circulares paralelas, com capacitância de 5,00 pF. O capacitor vai ser usado em um circuito onde a tensão máxima aplicada será de 1,00 times 10^2 V, e o campo elétrico entre as placas não pode ser maior que 1,00 times 10^2 N/C. Vamos precisar usar conceitos de capacitância, campo elétrico e relações entre eles para determinar as dimensões físicas do capacitor e a carga máxima que as placas podem ter.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a separação d entre as placas do capacitor. Sabemos que o campo elétrico E entre as placas é dado por:
E = Vd
Onde:
  • E é o campo elétrico,
  • V é a diferença de potencial (tensão),
  • d é a distância entre as placas.
Queremos que E não seja maior que 1,00 times 10^2 N/C e que V = 1,00 times 10^2 V. Então, podemos rearranjar a fórmula para encontrar d:
d = VE = 1,00 times 10^2 V1,00 times 10^2 N/C = 1 m
Então, a separação entre as placas deve ser de 1 metro. Parece grande, mas vamos seguir com os cálculos para ver.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a área A das placas. A capacitância de um capacitor de placas paralelas é dada por:
C = varepsilon0 Ad
Onde:
  • C é a capacitância,
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo ( 8,85 times 10^-12 F/m),
  • A é a área das placas,
  • d é a distância entre as placas.
Queremos C = 5,00 pF = 5,00 times 10^-12 F e já encontramos d = 1 m. Vamos rearranjar a fórmula para encontrar A:
A = C cdot dvarepsilon0 = 5,00 times 10^-12 F times 1 m8,85 times 10^-12 F/m approx 0,566 m^2

Passo 4

Como as placas são circulares, podemos relacionar a área A com o raio r usando a fórmula da área do círculo:
A = pi r^2
Vamos resolver para r:
r = raizApi = raiz0,566 m^2pi approx 0,424 m
O diâmetro D das placas é então:
D = 2r approx 2 times 0,424 m approx 0,848 m
Então, as placas devem ter aproximadamente 0,848 metros de diâmetro e estar separadas por 1 metro.

Passo 5

Agora, vamos determinar a carga máxima Qmax que as placas podem ter. A relação entre carga, capacitância e tensão é dada por:
Q = C cdot V
Onde:
  • Q é a carga,
  • C é a capacitância,
  • V é a tensão.
Usando C = 5,00 pF = 5,00 times 10^-12 F e V = 1,00 times 10^2 V:
Qmax = 5,00 times 10^-12 F times 1,00 times 10^2 V = 5,00 times 10^-10 C

Resposta

a) As placas do capacitor devem ter um diâmetro de aproximadamente 0,848 metros e estar separadas por 1 metro.
b) A carga máxima que as placas podem ter é de 5,00 times 10^-10 coulombs.

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