15 A quantidade de oxigênio em um lago
dias após despejarem detritos orgânicos é de
por cento do seu nível original.
(a) Mostre que
e
.
(b) Use o teorema do valor intermediário para concluir que houve um instante em que a quantidade de oxigênio no lago foi de
.
(c) Em quais instantes a quantidade de oxigênio foi de
.
(a) Mostre que
(b) Use o teorema do valor intermediário para concluir que houve um instante em que a quantidade de oxigênio no lago foi de
(c) Em quais instantes a quantidade de oxigênio foi de
Passo 1
O enunciado define a função
que dá a porcentagem de oxigênio num lago
dias após despejo de detritos. Pede-se:
– (a) calcular e
;
– (b) usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que em algum instante ;
– (c) achar todos os instantes em que .
– (a) calcular
– (b) usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que em algum instante
– (c) achar todos os instantes em que
Passo 2
Para
:
Para
:
Passo 3
Note que o denominador
para todo
, logo
é contínua em
, em particular em
. Como
pelo Teorema do Valor Intermediário existe algum
tal que
.
Passo 4
Para achar todos os instantes em que
, resolvemos
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Passo 5
As duas soluções são
O valor
está em
, confirmando o instante garantido pelo TVI, e
é um outro instante posterior em que
.
Resposta
(a)
e
.
(b) Como é contínua em
e
, existe
tal que
.
(c) As soluções de são
(b) Como
(c) As soluções de