15 A quantidade de oxigênio em um lago t dias após despejarem detritos orgânicos é de f(t)= 100\left(\frac{t^{2}+10 t+100}{t^{2}+20 t+100}\right) por cento do seu nível original.
(a) Mostre que f(0)=100 e f(10)=75.
(b) Use o teorema do valor intermediário para concluir que houve um instante em que a quantidade de oxigênio no lago foi de 80 \%.
(c) Em quais instantes a quantidade de oxigênio foi de 80 \%.

Passo 1

O enunciado define a função
f(t)=100\left(\frac{t^{2}+10t+100}{t^{2}+20t+100}\right)
que dá a porcentagem de oxigênio num lago t dias após despejo de detritos. Pede-se:
– (a) calcular f(0) e f(10);
– (b) usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que em algum instante f(t)=80\%;
– (c) achar todos os instantes em que f(t)=80\%.

Passo 2

Para t=0:
f(0)=100\left(\frac{0^{2}+10\cdot0+100}{0^{2}+20\cdot0+100}\right) =100\left(\frac{100}{100}\right)=100.
Para t=10:
f(10)=100\left(\frac{10^{2}+10\cdot10+100}{10^{2}+20\cdot10+100}\right) =100\left(\frac{100+100+100}{100+200+100}\right) =100\left(\frac{300}{400}\right)=75.

Passo 3

Note que o denominador t^{2}+20t+100=(t+10)^{2}>0 para todo t, logo f é contínua em \mathbb{R}, em particular em [0,10]. Como
f(0)=100>80>75=f(10),
pelo Teorema do Valor Intermediário existe algum c\in(0,10) tal que f\text{(c)}=80.

Passo 4

Para achar todos os instantes em que f(t)=80, resolvemos
80=100\frac{t^{2}+10t+100}{t^{2}+20t+100} \quad\Longrightarrow\quad \frac{4}{5}=\frac{t^{2}+10t+100}{t^{2}+20t+100}
4\bigl(t^{2}+20t+100\bigr) =5\bigl(t^{2}+10t+100\bigr) \;\Longrightarrow\; t^{2}-30t+100=0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
t=\frac{30\pm\sqrt{(-30)^{2}-4\cdot1\cdot100}}{2} =\frac{30\pm\sqrt{900-400}}{2} =\frac{30\pm\sqrt{500}}{2} =15\pm5\sqrt{5}.

Passo 5

As duas soluções são
t_{1}=15-5\sqrt{5}\approx3{,}82,\qquad t_{2}=15+5\sqrt{5}\approx26{,}18.
O valor t_{1} está em (0,10), confirmando o instante garantido pelo TVI, e t_{2} é um outro instante posterior em que f(t)=80\%.

Resposta

(a) f(0)=100 e f(10)=75.
(b) Como f é contínua em [0,10] e 75<80<100, existe c\in(0,10) tal que f\text{(c)}=80\%.
(c) As soluções de f(t)=80\% são
t=15\pm5\sqrt{5}\quad(\text{aproximadamente }3{,}82\text{ e }26{,}18\text{ dias}).

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