Os Problemas de 8 a 13 envolvem equaçōes da forma
. Em cada problema, esboce o gráfico de
em função de
, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como sendo assintoticamente estável, instável ou semiestável (veja o Problema 7). Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano
.
9.
’
9.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a EDO autônoma
.
Isso envolve:
Isso envolve:
- Esboçar qualitativamente o gráfico de
. - Encontrar pontos de equilíbrio (raízes de
). - Classificar cada equilíbrio em estável, instável ou semiestável.
- Desenhar a reta de fase.
- Esboçar curvas de solução no plano
– .
Para isso, usaremos análise de sinais dee linearização via .
Passo 2
Resolvendo
encontramos os equilíbrios
Passo 3
Analisando o sinal de
:
- Se
, então , logo . - Se
, então , logo . - Em
, vale .
Portanto, na reta de fase:
- Em
e : (setas para a direita). - Em
e : (setas para a esquerda).
Passo 4
Para classificar os equilíbrios, calculamos
- Em
: . Ponto instável. - Em
: . Ponto assintoticamente estável. - Em
: . Como é raiz dupla e para pequeno , vemos que de próximo de zero as soluções convergem a , mas de próximo se afastam. Logo, é semiestável.
Passo 5
Reta de fase (setas indicam direção de aumento de
):
… ◀––––––●–––––––––○––––––––●––––––▶ …
–
– Em
(●): estável (setas convergem).
– Em (○): semiestável (direita atrai, esquerda repele).
– Em (●): instável (setas divergem).
– Em
– Em
Passo 6
Comportamento de
para diferentes
:
-
: , então . -
: , então . -
: , então . -
: , então . -
: solução constante (permanece no equilíbrio).
Resposta
Pontos de equilíbrio e classificações:
: assintoticamente estável.
: semiestável.
: instável.
Gráfico qualitativo de
:
– Zeros simples em (cruzam o eixo).
– Zero duplo em (toque, muda de sinal de um lado só).
– Zeros simples em
– Zero duplo em
Reta de fase e comportamento das soluções conforme descrito acima.