Os Problemas de 8 a 13 envolvem equaçōes da forma d y / d t=f(y). Em cada problema, esboce o gráfico de f(y) em função de y, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como sendo assintoticamente estável, instável ou semiestável (veja o Problema 7). Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano t y.
9. d y / d t=y^{2}\left(y^{2}-1\right), \quad-\infty<y_{0}<\infty

Passo 1

O enunciado pede para analisar a EDO autônoma \displaystyle \frac{dy}{dt}=y^2(y^2-1).
Isso envolve:
  1. Esboçar qualitativamente o gráfico de f(y)=y^2(y^2-1).
  2. Encontrar pontos de equilíbrio (raízes de f).
  3. Classificar cada equilíbrio em estável, instável ou semiestável.
  4. Desenhar a reta de fase.
  5. Esboçar curvas de solução no plano t y.
    Para isso, usaremos análise de sinais de f e linearização via f'(y).

Passo 2

Resolvendo
f(y)=y^2(y^2-1)=0
encontramos os equilíbrios
y=0\quad(\text{multiplicidade 2}), \quad y=1,\quad y=-1\quad(\text{multiplicidade 1}).

Passo 3

Analisando o sinal de f(y):
  • Se \lvert y\rvert >1, então y^2>1\implies y^2-1>0, logo f(y)>0.
  • Se 0<\lvert y\rvert<1, então y^2<1\implies y^2-1<0, logo f(y)<0.
  • Em y=0,\pm1, vale f(y)=0.
Portanto, na reta de fase:
  • Em (-\infty,-1) e (1,\infty): \frac{dy}{dt}>0 (setas para a direita).
  • Em (-1,0) e (0,1): \frac{dy}{dt}<0 (setas para a esquerda).

Passo 4

Para classificar os equilíbrios, calculamos
f'(y)=\frac{d}{dy}\bigl[y^2(y^2-1)\bigr] =2y\,(y^2-1)+y^2\cdot2y =2y\,(2y^2-1).
  • Em y=1: f'(1)=2\cdot1\cdot(2-1)=2>0. Ponto instável.
  • Em y=-1: f'(-1)=2\cdot(-1)\cdot(2-1)=-2<0. Ponto assintoticamente estável.
  • Em y=0: f'(0)=0. Como y=0 é raiz dupla e para y\neq0 pequeno f(y)\approx -y^2<0, vemos que de y>0 próximo de zero as soluções convergem a 0, mas de y<0 próximo se afastam. Logo, y=0 é semiestável.

Passo 5

Reta de fase (setas indicam direção de aumento de t):
… ◀––––––●–––––––––○––––––––●––––––▶ …
-\infty 101 +\infty
– Em y=-1 (●): estável (setas convergem).
– Em y=0 (○): semiestável (direita atrai, esquerda repele).
– Em y=1 (●): instável (setas divergem).

Passo 6

Comportamento de y(t) para diferentes y_0:
  • y_0>1: \frac{dy}{dt}>0, então y(t)\to+\infty.
  • 0<y_0<1: \frac{dy}{dt}<0, então y(t)\to0^+.
  • -1<y_0<0: \frac{dy}{dt}<0, então y(t)\to-1.
  • y_0<-1: \frac{dy}{dt}>0, então y(t)\to-1.
  • y_0\in\{ -1,0,1\}: solução constante (permanece no equilíbrio).

Resposta

Pontos de equilíbrio e classificações: y=-1: assintoticamente estável. y=0: semiestável. y=1: instável.
Gráfico qualitativo de f(y):
– Zeros simples em \pm1 (cruzam o eixo).
– Zero duplo em 0 (toque, muda de sinal de um lado só).
Reta de fase e comportamento das soluções conforme descrito acima.

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