Os Problemas de 8 a 13 envolvem equaçōes da forma d y / d t=f(y). Em cada problema, esboce o gráfico de f(y) em função de y, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como sendo assintoticamente estável, instável ou semiestável (veja o Problema 7). Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano t y.
11. d y / d t=a y-b \sqrt{y}, \quad a>0, \quad b>0, \quad y_{0} \geq 0
Precisamos esboçar o gráfico de f(y), achar os pontos de equilíbrio (raízes de f), classificar cada um (estável, instável ou semiestável), desenhar a reta de fase e, por fim, esboçar algumas curvas solução no plano t–y.
Passo 2
Para entender o formato de f(y)=a\,y - b\sqrt{y}, observe:
Em y=0, temos f(0)=0.
Para y>0 muito pequeno, o termo -b\sqrt{y} domina, logo f(y)<0.
Para y\to+\infty, o termo a\,y domina, logo f(y)\sim a\,y>0.
A função é suave para y>0 e tem derivada em bloco
f'(y)=a-\frac{b}{2\sqrt{y}}\;,
que diverge para -\infty quando y\to0^+ e tende a a>0 quando y\to+\infty.
Analisamos o sinal de f(y) em cada subintervalo de [0,+\infty):
Se 0<y<\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr)^2, então a\sqrt{y}<b e f(y)<0: as soluções descem em direção a y=0.
Se y>\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr)^2, então a\sqrt{y}>b e f(y)>0: as soluções sobem para +\infty.
Daí:
Em y_1=0, como para y>0 próximo temos f(y)<0, as trajetórias são empurradas de volta a 0. Portanto y=0 é assintoticamente estável (todos os y_0\in(0,y_2) tendem a zero).
Em y_2=(b/a)^2, f troca de sinal de negativo (à esquerda) para positivo (à direita), de modo que é um ponto de equilíbrio instável.