Os Problemas de 8 a 13 envolvem equaçōes da forma d y / d t=f(y). Em cada problema, esboce o gráfico de f(y) em função de y, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como sendo assintoticamente estável, instável ou semiestável (veja o Problema 7). Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano t y.
11. d y / d t=a y-b \sqrt{y}, \quad a>0, \quad b>0, \quad y_{0} \geq 0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial autônoma
\frac{d y}{d t}=f(y)=a\,y - b\sqrt{y},\quad a>0,\;b>0,\;y\ge0
Precisamos esboçar o gráfico de f(y), achar os pontos de equilíbrio (raízes de f), classificar cada um (estável, instável ou semiestável), desenhar a reta de fase e, por fim, esboçar algumas curvas solução no plano t y.

Passo 2

Para entender o formato de f(y)=a\,y - b\sqrt{y}, observe:
  1. Em y=0, temos f(0)=0.
  2. Para y>0 muito pequeno, o termo -b\sqrt{y} domina, logo f(y)<0.
  3. Para y\to+\infty, o termo a\,y domina, logo f(y)\sim a\,y>0.
  4. A função é suave para y>0 e tem derivada em bloco
f'(y)=a-\frac{b}{2\sqrt{y}}\;,
que diverge para -\infty quando y\to0^+ e tende a a>0 quando y\to+\infty.

Passo 3

Equilíbrios vêm de
f(y)=0\;\Longrightarrow\;a\,y - b\sqrt{y}=0 \;\Longrightarrow\;\sqrt{y}\,(a\sqrt{y}-b)=0
Logo, os pontos críticos são
y_1=0, \quad y_2=\Bigl(\frac{b}{a}\Bigr)^{2}.

Passo 4

Analisamos o sinal de f(y) em cada subintervalo de [0,+\infty):
  • Se 0<y<\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr)^2, então a\sqrt{y}<b e f(y)<0: as soluções descem em direção a y=0.
  • Se y>\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr)^2, então a\sqrt{y}>b e f(y)>0: as soluções sobem para +\infty.
Daí:
  • Em y_1=0, como para y>0 próximo temos f(y)<0, as trajetórias são empurradas de volta a 0. Portanto y=0 é assintoticamente estável (todos os y_0\in(0,y_2) tendem a zero).
  • Em y_2=(b/a)^2, f troca de sinal de negativo (à esquerda) para positivo (à direita), de modo que é um ponto de equilíbrio instável.

Passo 5

Reta de fase em y\ge0:
\underbrace{\longleftarrow}_{0<y<y_2}\;\;y=0\quad\bullet\quad y=y_2\;\bullet\;\underbrace{\longrightarrow}_{y>y_2}
Esboço de soluções y(t):
  • Se 0<y_0<y_2, y(t) decresce monotonamente e tende a 0 conforme t\to+\infty.
  • Se y_0=y_2, y(t)\equiv y_2.
  • Se y_0>y_2, y(t) cresce e diverge para +\infty.

Resposta

Equilíbrios:
y=0\quad\text{(assintoticamente estável)}, \qquad y=\Bigl(\tfrac{b}{a}\Bigr)^2\quad\text{(instável)}.áá

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