Os Problemas de 8 a 13 envolvem equaçōes da forma
. Em cada problema, esboce o gráfico de
em função de
, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como sendo assintoticamente estável, instável ou semiestável (veja o Problema 7). Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano
.
13.
13.
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO
pede para esboçar o gráfico de
, achar os pontos de equilíbrio (raízes de
), classificar cada um (estável, instável ou semiestável), desenhar a reta de fase e esboçar soluções no plano
,–,
.
Passo 2
Primeiro identificamos os pontos críticos resolvendo
As soluções são
(raiz dupla) e
(raiz dupla).
Para o gráfico de :
Para o gráfico de
Em particular
para todo
.
Passo 3
Analisando o sinal de
ao redor de cada equilíbrio:
- Para
, tem-se , logo aumenta em direção a . - Para
, tem-se , logo aumenta em direção a . - Para
, tem-se , logo cresce sem limite.
Como as derivadase , usamos análise de lado: -
é atraente para soluções com e repelente para : ponto semiestável. -
é atraente para e repelente para : ponto semiestável.
Passo 4
Reta de fase em
:
Ondas apontam para a direita (crescimento) em todos os intervalos, com paradas em
e
.
Passo 5
Esboço das soluções
para várias condições iniciais
:
- Se
, sobe lentamente e tende a conforme . - Se
, sobe para e atinge assintoticamente . - Se
ou , fica estacionário. - Se
, cresce sem limite, eventualmente (explosão em tempo finito).
No plano
,–,
, desenhamos curvas monótonas crescentes que se aproximam de 0 ou 1 ou divergem.
Resposta
Equilíbrios:
e
, ambos semiestáveis (estáveis de um lado e instáveis do outro). As setas da reta de fase apontam para a direita em todo lugar, e as soluções são crescentes, tendendo a 0 se
, a 1 se
, e indo a
se
.