Os Problemas de 8 a 13 envolvem equaçōes da forma d y / d t=f(y). Em cada problema, esboce o gráfico de f(y) em função de y, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como sendo assintoticamente estável, instável ou semiestável (veja o Problema 7). Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano t y.
13. d y / d t=y^{2}(1-y)^{2}, \quad-\infty<y_{0}<\infty

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
\frac{dy}{dt}=f(y)=y^{2}(1-y)^{2},
pede para esboçar o gráfico de f(y), achar os pontos de equilíbrio (raízes de f), classificar cada um (estável, instável ou semiestável), desenhar a reta de fase e esboçar soluções no plano t,–, y.

Passo 2

Primeiro identificamos os pontos críticos resolvendo
y^{2}(1-y)^{2}=0.
As soluções são y=0 (raiz dupla) e y=1 (raiz dupla).
Para o gráfico de f(y):
f(y)\ge0\quad\forall y,\qquad f(0)=0,\;f(1)=0,\quad\max f(y)\text{ em }y=\tfrac12\text{ com }f(\tfrac12)=\tfrac1{16}.
Em particular f(y)>0 para todo y\neq0,1.

Passo 3

Analisando o sinal de f(y) ao redor de cada equilíbrio:
  • Para y<0, tem-se f(y)>0, logo y aumenta em direção a 0.
  • Para 0<y<1, tem-se f(y)>0, logo y aumenta em direção a 1.
  • Para y>1, tem-se f(y)>0, logo y cresce sem limite.
    Como as derivadas f'(0)=0 e f'(1)=0, usamos análise de lado:
  • y=0 é atraente para soluções com y<0 e repelente para y>0: ponto semiestável.
  • y=1 é atraente para y<1 e repelente para y>1: ponto semiestável.

Passo 4

Reta de fase em y:
\begin{tikzpicture}[baseline=-3pt] \draw[->] (-1.5,0) -- (2.5,0) node[right] {\(y\)}; \foreach \x in {0,1}{\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below=2pt] {\(\x\)};} \draw[->,thick] (-1,0) -- (0,0) node[midway,above] {\(\uparrow\)}; \draw[->,thick] (0,0) -- (1,0) node[midway,above] {\(\uparrow\)}; \draw[->,thick] (1,0) -- (2,0) node[midway,above] {\(\uparrow\)}; \end{tikzpicture}
Ondas apontam para a direita (crescimento) em todos os intervalos, com paradas em 0 e 1.

Passo 5

Esboço das soluções y(t) para várias condições iniciais y(0)=y_{0}:
  • Se y_{0}<0, y(t) sobe lentamente e tende a 0 conforme t\to+\infty.
  • Se 0<y_{0}<1, y(t) sobe para 1 e atinge assintoticamente y=1.
  • Se y_{0}=0 ou y_{0}=1, y(t) fica estacionário.
  • Se y_{0}>1, y(t) cresce sem limite, eventualmente y\to+\infty (explosão em tempo finito).
No plano t,–, y, desenhamos curvas monótonas crescentes que se aproximam de 0 ou 1 ou divergem.

Resposta

Equilíbrios: \,0 e 1, ambos semiestáveis (estáveis de um lado e instáveis do outro). As setas da reta de fase apontam para a direita em todo lugar, e as soluções são crescentes, tendendo a 0 se y_0<0, a 1 se 0<y_0<1, e indo a +\infty se y_0>1.

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