A arrecadação mundial total pela exibição de um filme de grande sucesso de bilheteria é aproximada pela função
T(x)=\frac{5 x^{2}}{x^{2}+4}
onde T(x) é medido em bilhões de dólares e x é o número de meses do filme em cartaz. Qual a arrecadação do filme a longo prazo?

Passo 1

O enunciado nos dá a arrecadação total do filme em função do tempo em meses,
T(x)=\frac{5x^{2}}{x^{2}+4},
em que T(x) está em bilhões de dólares. Queremos a arrecadação a longo prazo, isto é, \lim_{x\to\infty}T(x). O conteúdo é cálculo de limite no infinito de função racional, usando divisão pelo maior grau de x.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador por x^{2}:
T(x)=\frac{5x^{2}}{x^{2}+4} =\frac{5}{1+\frac{4}{x^{2}}}.
Quando x\to\infty, temos \frac{4}{x^{2}}\to0. Logo,
\lim_{x\to\infty}T(x)=\frac{5}{1+0}=5.

Resposta

A arrecadação a longo prazo é de 5 bilhões de dólares.

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