(15%) Questão 8. Considere as funções [f) e definidas por
(c) Resolva (analiticamente) a inequação (f(x) \leqslant g(x)] e indique a solução no esboço em (a).

Passo 1

O enunciado pede para resolver analiticamente a inequação
f(x) <= g(x),
onde
f(x) = |x| - 2, g(x) = -dfrac1x + 1, & x neq 0, -3, & x = 0
O conteúdo principal é tratar o valor absoluto |x| em dois casos ( x > 0 e x < 0 ) e também levar em conta que g é uma função racional para x neq 0 .

Passo 2

Caso x>0: então |x|=x e a inequação vira
x-2 ;<=; -1x +1
Como x>0, multiplicamos ambos os lados por x (sem mudar o sinal da desigualdade):
x(x-2)<= xl(-tfrac1x+1r) Longrightarrow x^2-2x<= -1 +x Longrightarrow x^2-3x+1<=0
As raízes de x^2-3x+1=0 são
x=3pmraiz9-42 =3pmraiz52
Como é uma parábola para cima, a região onde x^2-3x+1<=0 é
3-raiz52;<=;x;<=;3+raiz52
Levando em conta x>0, obtemos
xin l[tfrac3-raiz52,,tfrac3+raiz52r]

Passo 3

Caso x<0: então |x|=-x e a inequação é
-x-2 ;<=; -1x +1
Agora x<0, ao multiplicar por x a desigualdade inverte de sinal:
(-x-2),x ;>=; l(-tfrac1x+1r),x Longrightarrow -x^2-2x>= -1 +x Longrightarrow -x^2-3x+1>=0 Longrightarrow x^2+3x-1<=0
As raízes de x^2+3x-1=0 são
x=-3pmraiz9+42 =-3pmraiz132
Por ser parábola para cima, a região onde x^2+3x-1<=0 é
-3-raiz132;<=;x;<=;-3+raiz132
Mas como x<0, ficamos com
xin l[tfrac-3-raiz132,,0r)

Passo 4

Em x=0 temos f(0)=-2 e g(0)=-3, e -2<=-3 é falso. Logo x=0 não pertence à solução.

Resposta

xin l[tfrac-3-raiz132,,0r),cup, l[tfrac3-raiz52,,tfrac3+raiz52r]
Indique esses dois intervalos no esboço do item (a).

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