(15%) Questão 8. Considere as funções [f) e
definidas por
(c) Resolva (analiticamente) a inequação (f(x) \leqslant g(x)] e indique a solução no esboço em (a).
Passo 1
O enunciado pede para resolver analiticamente a inequação
onde
O conteúdo principal é tratar o valor absoluto
|x| em dois casos (
x > 0 e
x < 0 ) e também levar em conta que
g é uma função racional para
x neq 0 .
Passo 2
Caso
x>0 : então
|x|=x e a inequação vira
Como
x>0 , multiplicamos ambos os lados por
x (sem mudar o sinal da desigualdade):
As raízes de
x^2-3x+1=0 são
Como é uma parábola para cima, a região onde
x^2-3x+1<=0 é
Levando em conta
x>0 , obtemos
Passo 3
Caso
x<0 : então
|x|=-x e a inequação é
Agora
x<0 , ao multiplicar por
x a desigualdade inverte de sinal:
As raízes de
x^2+3x-1=0 são
Por ser parábola para cima, a região onde
x^2+3x-1<=0 é
Mas como
x<0 , ficamos com
Passo 4
Em
x=0 temos
f(0)=-2 e
g(0)=-3 , e
-2<=-3 é falso. Logo
x=0 não pertence à solução.
Resposta
Indique esses dois intervalos no esboço do item (a).