(15%) Questão 7. Considere as funções quadráticas f(x)=x^2+6 x-1 e g(x)=-x^2+x+2.
(c) Resolva (analiticamente) a inequação f(x) <= g(x) e indique a solução no esboço em (a).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os x tais que
f(x)<= g(x),
onde f(x)=x^2+6x-1 e g(x)=-x^2+x+2. O conteúdo é resolução de inequações quadráticas, que envolve trazer tudo para um só polinômio, achar as raízes e estudar o sinal.

Passo 2

Definimos
h(x)=f(x)-g(x)
para transformar a inequação em
f(x)<= g(x);Long<=ftrightarrow;h(x)<=0
Calculamos
h(x)=l(x^2+6x-1r)-l(-x^2+x+2r) =2x^2+5x-3

Passo 3

Para resolver
2x^2+5x-3<=0
calculamos o discriminante:
De<a = 5^2 - 4cdot2cdot(-3) =25+24=49
As raízes são
x = -5pmraiz492cdot2 ;Longrightarrow; x1 = -5-74=-3, x2 = -5+74=tfrac12

Passo 4

Como o coeficiente de x^2 em h(x) é positivo, a parábola abre para cima e fica abaixo ou igual a zero no intervalo fechado entre as raízes. Logo, a solução da inequação é
-3 <= x <= tfrac12

Resposta

[-3,tfrac12].
No esboço de (a), destaque o segmento do eixo x que vai de -3 até tfrac12, pois é aí que f(x)<= g(x).

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