Se os vetores não nulos
são LD no espaço, então o vetor
é uma combinação linear de
? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado diz que os vetores não nulos
são linearmente dependentes num espaço vetorial. Pergunta-se se, a partir disso, podemos afirmar que
é combinação linear de
. O conteúdo envolvido é o de dependência linear e espaços gerados (spans).
Passo 2
Por definição,
é linearmente dependente se existem escalares
, não todos nulos, tais que
Passo 3
Dessa relação podemos isolar
somente se
. De fato, se
então
logo
.
Passo 4
Porém, nada no enunciado garante
. Pode acontecer de
e, ainda assim,
ser dependente, pois a dependência pode vir só de
e
. Nesse caso temos
e
fica “de fora” dessa combinação, não estando necessariamente no span de
.
Passo 5
Para ver concretamente, tome no
Aqui
, então
é dependente (basta usar
). Mas
não é combinação de
e
, pois todo vetor no span de
tem segunda componente zero.
Resposta
Não. Somente podemos garantir que
seja combinação linear de
se, na relação de dependência, o coeficiente de
for não nulo (o que equivale a exigir que
e
sejam independentes).