Se os vetores não nulos u, v, w são LD no espaço, então o vetor w é uma combinação linear de u, v ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado diz que os vetores não nulos u,v,w são linearmente dependentes num espaço vetorial. Pergunta-se se, a partir disso, podemos afirmar que w é combinação linear de u,v. O conteúdo envolvido é o de dependência linear e espaços gerados (spans).

Passo 2

Por definição, u,v,w é linearmente dependente se existem escalares a,b,c, não todos nulos, tais que
a,u+b,v+c,w=0

Passo 3

Dessa relação podemos isolar w somente se cneq 0. De fato, se cneq 0 então
w=-ac,u-bc,v,
logo winSpanu,v.

Passo 4

Porém, nada no enunciado garante cneq 0. Pode acontecer de c=0 e, ainda assim, u,v,w ser dependente, pois a dependência pode vir só de u e v. Nesse caso temos
a,u+b,v=0 com algum de (a,bneq 0),
e w fica “de fora” dessa combinação, não estando necessariamente no span de u,v.

Passo 5

Para ver concretamente, tome no R^3
u=(1,0,0), v=(2,0,0), w=(0,1,0)
Aqui v=2,u, então u,v,w é dependente (basta usar a=2,b=-1,c=0). Mas w não é combinação de u e v, pois todo vetor no span de u,v tem segunda componente zero.

Resposta

Não. Somente podemos garantir que w seja combinação linear de u,v se, na relação de dependência, o coeficiente de w for não nulo (o que equivale a exigir que u e v sejam independentes).

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